Исследование на экстремум

[Norma]

Функция двух переменных: $u(x,y)=x^4+y^4-(x+y)^2$. Стационарная точка: $M(0,0)$.

В точке $M$ у квадратичной формы первый угловой минор больше нуля, а второй равен нулю. Я решил разложить функцию в ряд Тейлора. Получилось, что третий дифференциал равен нулю, а четвертый больше нуля. Можно ли сделать вывод о том, что в точке $M$ - локальный минимум?

[VanD]

Norma в сообщении #1396247 писал(а):

четвертый больше нуля

В каком смысле четвёртый дифференциал "больше нуля"?

Ну и тут-то уж про $M$ можно и так вывод сделать, без всяких дифференциалов.

[Norma]

VanD
$d^4u=12dx^4+12dy^4$
А как можно сделать вывод без дифференциалов?

[VanD]

Norma в сообщении #1396333 писал(а):

А как можно сделать вывод без дифференциалов?

В любую окрестность точки $M$ неизбежно будут попадать точки, лежащие на прямой $y = x$. А ещё будут попадать точки, лежащие на прямой $y = -x$. Остаётся только посмотреть на исходную функцию.

А четвёртый дифференциал тут не инвариантен, ведь среди первого, второго и третьего дифференциалов в точке $M$ есть ненулевые. То есть тут четвёртый дифференциал сам по себе лишён геометрического смысла. И в каком смысле он "положителен" мне всё-таки не понятно.

[Norma]

VanD
Верно ли такое рассуждение: если вместо $y$ подставить $-x$, то получим неотрицательное выражение, значит в этой точке не может быть максимума. Если вместо $y$ подставить $x$, то получим: $u(x)=2x^4-4x^2$, тогда при $x \to 0$ главная часть этого выражения: $-4x^2$, поэтому минимума быть не может?

[VanD]

Norma в сообщении #1396377 писал(а):

Верно ли такое рассуждение: если вместо $y$ подставить $-x$, то получим неотрицательное выражение, значит в этой точке не может быть максимума. Если вместо $y$ подставить $x$, то получим: $u(x)=2x^4-4x^2$, тогда при $x \to 0$ главная часть этого выражения: $-4x^2$, поэтому минимума быть не может?

Верно, при учёте того, что $M = (0; 0)$ и $u(0; 0) = 0$, то есть эти $x, y$ и есть приращения аргументов в точке $M$ по сути, а значения действительно сравниваются с нулём.

[Otta]

VanD в сообщении #1396355 писал(а):

И в каком смысле он "положителен" мне всё-таки не понятно.

Я так понимаю, это "кривое" прочтение достаточного условия локального экстремума.
Который позволяет судить о наличии экстремума по четности-нечетности порядка первого ненулевого дифференциала и наличии у него знакоопределенности.

Да, но только четвертый дифференциал - не первый ненулевой. Им будет второй дифференциал. Что он не является знакоопределенным (он полуопределенный), погоды не делает: теорема об этом ничего не говорит.

[arqady]

By Holder:

$$u(x,y)=\frac{1}{8}(1+1)^3(x^4+y^4)-(x+y)^2\geq\frac{1}{8}(x+y)^4-(x+y)^2=$$

$$=\frac{1}{8}((x+y)^4-8(x+y)^2+16-16)=\frac{1}{8}((x+y)^2-4)^2-2\geq-2.$$

The equality occurs for $x=y=1$, which says that we got a minimal value.

The maximal value does not exist, of course.