Построить ломаную (задача о кошачьей ноге)

[Rusich]

Здравствуйте, уважаемые пользователи форума. Есть одна задачка, но сам я затрудняюсь в решении, надеюсь, вам она будет интересна.

Имеется ломаная (незамкнутая), состоящая из трёх отрезков. Даны координаты на плоскости начала и конца ломаной и длины этих отрезков. Нужно найти координаты двух промежуточных изломов, если известно что угол между первым и вторым отрезком соотносится с углом между вторым и третьим как некоторая величина (тоже дана).

Можно попробовать её переформулировать так: в произвольном четырёхугольнике известны длины двух сторон, обоих диагоналей и соотношение двух противолежащих углов, построить этот четырёхугольник.

Если представить себе неподвижными начало и конец ломаной, то промежуточные точки должны находиться на окружностях с таковыми центрами радиусами в длину отрезков. Обозначим точки как A, B, C, D. Тогда можно составить систему из 4-х уравнений:

$(x(A)-x(B))^2+(y(A)-y(B))^2=|AB|^2$
$(x(D)-x(C))^2+(y(D)-y(C))^2=|CD|^2$
$(x(B)-x(C))^2+(y(B)-y(C))^2=|BC|^2$
$ABC=c\cdot BCD$,
где x и y - координаты соответствующих точек, |XX| - длина отрезка, c - соотношение углов.

Примерно так:



Можно, допустим, для простоты положить точку B в начало координат, а C - справа на ось Ox. Тогда уравнения можно собрать в кучу примерно так:

$\arcsin(x(B)/AB)=c\cdot \arcsin(x(C)/CD)$
$\sqrt{x(B)+(BC-x(C))^2+(y(B)+y(C))^2}=d$,
где d - расстояние между A и D.

Дальше уже с трудом представляю, что с этим делать и как решать.

[slavav]

Попробуйте решить случай $c = 1$.
Кажется, проще будет искать не координаты $x, y$ а углы $\alpha, \beta$.

[Rusich]

Разумеется, уже чего только не пробовал. Даже попытался смоделировать программно, какие значения должны быть. Вот, к примеру, зависимость координаты x крайних точек от длины диагонали при длинах всех отрезков = 3 и с = 1 (ось x - длина диагонали, у противоположной точки x такой же, но с минусом):


Нечто арккосинусоподобное, но аппроксимации вроде как не поддающееся.

[slavav]

Если $\alpha = \beta$, то что можно сказать про отрезки $AB$ и $CD$?

[Rusich]

А вот то же самое для угла:

Цитата:

Если $\alpha = \beta$, то что можно сказать про отрезки $AB$ и $CD$?

Да, в общем-то, без учёта координат A и D - ничего. Разве что если мы полагаем ихние длины равными, то ломаная будет симметричной.

[slavav]

Если $\alpha = \beta$, что можно сказать про углы $\angle BAD$ и $\angle CDA$?

[mihiv]

Можно получить уравнение для угла $\beta $, которое придется решать численно, а затем построить 4 угольник.

[Rusich]

slavav в сообщении #1399111 писал(а):

Если $\alpha = \beta$, что можно сказать про углы $\angle BAD$ и $\angle CDA$?

А что про них говорить-то, ежели мы не знаем координаты точек B и С? То же, что и про отрезки: если углы альфа и бета равны и равны длины крайних плеч ломаной, то и эти углы равны, а AD пересекает ВС по центру.

Кстати, если рассматривать задачу геометрически, то да, имеем дело с таким вот 4-угольником:

Цитата:

Можно получить уравнение для угла $\beta $, которое придется решать численно, а затем построить 4 угольник.

Что имеете в виду? Если положить BC на Ox, то оба угла очевидным образом выражаются через арксинус одного отношения (длины отрезка к иксу). Через длины отрезков - даже не знаю, как.

[slavav]

Хорошо. Добавлю что равенство плеч не нужно. $\alpha = \beta \Rightarrow \angle BAD = \angle CDA$. Теперь выразите длину $BC$ как функцию $\angle BAD$.

[mihiv]

mihiv в сообщении #1399115 писал(а):

Можно получить уравнение для $\beta $

Сумма и модули трех векторов известны. $(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r})^2=\mathbf{d}^2$, углы между векторами $p,q,r $ выражаются через $\beta $.

Pphantom:

Что-то вы с набором формул сделали очень этакое. Поправил.

[Rusich]

Цитата:

Добавлю что равенство плеч не нужно. $\alpha = \beta \Rightarrow \angle BAD = \angle CDA$. Теперь выразите длину $BC$ как функцию $\angle BAD$.

Так в случае отсутствия равенства плеч и зависимости такой, как я понимаю, нету:


А если есть равенство, то и диагональ пополам делится, тут проще:
$(BC/2) ^ 2 = AB^2 + (d/2)^2 - 2\cdot AB\cdot (d/2)^2 \cdot \cos \angle BAD$

-- 13.06.2019, 15:27 --

Цитата:

Сумма и модули трех векторов известны.

Ну хорошо, выразим мы это векторами. Но конечном счёте всё просто сведётся к той системе из 4-х уравнений в первом сообщении, если не ошибаюсь.


* обоих диагоналей
обеих, т. е.

[ihq.pl]

Может, чисто аналитически сработает? Скажем пусть $r_1 = \vec{AB}, r_2 =\vec{BC}, r_3 =\vec{CD}, r_4 =\vec{AD}$. Тогда $ r_1 + r_2 + r_3=r_4,$ и следовательно $(r_1,r_i) + (r_2,r_i) + (r_3,r_i) = (r_4,r_i), i=1,..,4$. Есть четыре уравнения. Если еще учесть, что

$$r_2 = \frac{|r_2|}{|r_1|}T_{\pi-\alpha}r_1, \quad r_3 = \frac{|r_3|}{|r_2|}T_{\beta-\pi}r_2,$$

то может и хватит? Здесь $T_\alpha$ - оператор поворота вектора на угол $\alpha$.

[slavav]

Rusich в сообщении #1399138 писал(а):

А если есть равенство, то и диагональ пополам делится, тут проще:
$(BC/2) ^ 2 = AB^2 + (d/2)^2 - 2\cdot AB\cdot (d/2)^2 \cdot \cos \angle BAD$

Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ равно одновременно $\left\lvert AD \right\rvert \cos \angle BAD$ и $\left\lvert BC \right\rvert \cos \alpha$.

[B@R5uk]

Я бы решал эту задачу так. Поместил бы точку B в начало координат, отрезок BC направил бы вдоль положительного направления оси Ox, задался бы неизвестным значением угла $\alpha$. Теперь легко находятся угол $\beta$, координаты точек A и D и расстояние AD, которое дано. Получилась система относительно угла $\alpha$. Находим его численно (так как при произвольном значении коэффициента c уравнение является трансцендентным). Дальше останется только повернуть и сместить всю фигуру, чтобы точки A и D совпали с заданными в условии координатами.

[Rusich]

slavav в сообщении #1399147 писал(а):

Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ равно одновременно $\left\lvert AD \right\rvert \cos \angle BAD$ и $\left\lvert BC \right\rvert \cos \alpha$.

Ну да, с этим случаем ещё можно попытаться что-то вывести, но всё ж это лишь один частный случай. А как это обобщить?

ihq.pl в сообщении #1399141 писал(а):

Скажем пусть $r_1 = \vec{AB}, r_2 =\vec{BC}, r_3 =\vec{CD}, r_4 =\vec{AD}$. Тогда $ r_1 + r_2 + r_3=r_4,$ и следовательно $(r_1,r_i) + (r_2,r_i) + (r_3,r_i) = (r_4,r_i), i=1,..,4$. Есть четыре уравнения. Если еще учесть, что

$$r_2 = \frac{|r_2|}{|r_1|}T_{\pi-\alpha}r_1, \quad r_3 = \frac{|r_3|}{|r_2|}T_{\beta-\pi}r_2,$$

то может и хватит?

Да, хватит, чтобы описать систему, что эквивалентно тем четырём уравнениям:

Rusich в сообщении #1399075 писал(а):

$(x(A)-x(B))^2+(y(A)-y(B))^2=|AB|^2$
$(x(D)-x(C))^2+(y(D)-y(C))^2=|CD|^2$
$(x(B)-x(C))^2+(y(B)-y(C))^2=|BC|^2$
$ABC=c\cdot BCD$

Этого достаточно, чтобы проверить, верно ли построена ломаная, но не построить её.

B@R5uk в сообщении #1399163 писал(а):

Поместил бы точку B в начало координат, отрезок BC направил бы вдоль положительного направления оси Ox, задался бы неизвестным значением угла $\alpha$. Теперь легко находятся угол $\beta$, координаты точек A и D и расстояние AD, которое дано. Получилась система относительно угла $\alpha$.

Так это тоже сделано, систему можно свести таким образом к двум уравнениям:

Rusich в сообщении #1399075 писал(а):

$\arcsin(x(B)/AB)=c\cdot \arcsin(x(C)/CD)$
$\sqrt{x(B)+(BC-x(C))^2+(y(B)+y(C))^2}=d$

А дальше что, методом подбора значения? Мне почему-то думается, что тут есть более элегантное решение. С таким же успехом можно просто "в лоб" вращать две точки вокруг других двух и измерять угол.