Доказательство по индукции

[trunb1]

Теорема: Если у функции $f$ все частные производные порядка $n$ в точке $x=a$ - непрерывны, то $f \in D^n(a)$.

Доказательство по индукции:

База: $n=1$ -верно(в силу известной теоремы)

Предположение: Пусть утверждение верно для $n=m-1$

И тут не совсем понятно, как сделать шаг индукции...

P.S.

По определению, $f \in D^n(a)$, если все частные производные до $(n-1)$ порядка - дифференцируемые функции.

[ewert]

trunb1 в сообщении #1398619 писал(а):

По определению, $f \in D^n(a)$, если все частные производные до $(n-1)$ порядка - дифференцируемые функции.

Из существования и непрерывности всех энных производных следует как минимум дифференцируемость каждой $(n-1)$-й -- и, следовательно, её непрерывность. Тогда по индукционному предположению дифференцируемы все производные до порядка $(n-1)$ включительно.

[DeBill]

ewert в сообщении #1398625 писал(а):

Из существования всех энных производных следует непрерывность всех $(n-1)$-х -

Пропущено: "и их непрерывности"