Помогите разобраться с пределом средних значений

[AlexChek]

Найти предел при $n \to \infty$, средних значений $A_n= \frac{1}{n}$$ \sum\limits_{k=0}^{n-1} f({S}^{k} z)$, $ z \in T$ , если
а)$f(z)={z}^{2}; Sz=\bar{z}$ (комплексное сопряженное); $T=\lbrace{Z}^{38}=1 \rbrace$
б)$f(z)={z}^{5}; Sz=-z ; T=\lbrace{Z}^{30} =1 \rbrace$
Как я понял решение будет связанно с Чезаровским средним, а именно вместо первых двух известных членов суммы будут браться, те значения, что даны в условии, затем нужно будет из этих 2 первых членов сделать новую последовательность $B_n=\frac{{z}^{2}\cdot\bar{z}\cdot n}{2n}$ (как раз таки Чезаровское среднее для случая а), но вот как этому приплести $T=\lbrace{Z}^{38}=1 \rbrace$ не понятно, на самом деле это наверное и есть единственная трудность.
Также по сути должна использоваться статистическая эргодическая теорема Дж.фон-Неймана.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Работа форума» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи;
- шрифтовые эффекты уберите.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

AlexChek в сообщении #1398530 писал(а):

вот как этому приплести $T=\lbrace{Z}^{38}=1 \rbrace$ не понятно

Да забейте для начала на это доп. условие, и сделайте для произвольного $z$. Получите ответ, который, возможно для точек из $T$ будет чуток попроще. (Вот если бы $S$ была не инволюцией, а что то посложнее, то условие "зет из Тэ" могло б сработать посущественнее, упростив жизнь). Но будьте аккуратнее: в обоих случаях, последовательность - да, распадается на две, у каждой из которых предел легко считается. Но что это за $B_n$ Вы написали?

AlexChek в сообщении #1398530 писал(а):

Также по сути должна использоваться статистическая эргодическая теорема Дж.фон-Неймана.

Нет. Видимо, наоборот, этот простой пример должОн быть иллюстрацией к теореме.

[AlexChek]

$B_n$ новая последовательность с известными членами, тобишь с $ f(z)$ и $ Sz $ (Чезаровское среднее с известными членами последовательности)
Тогда, кажется, что я совсем запутался.

DeBill в сообщении #1398621 писал(а):

сделайте для произвольного $z$. Получите ответ, который, возможно для точек из $T$ будет чуток попроще

Заметил ошибку в $B_n$, там поучится вроде что-то такое $B_n$=$\frac{z^2\bar{z}^2\cdot n}{2\cdot n}$

[DeBill]

AlexChek в сообщении #1398633 писал(а):

что-то такое $B_n$=$\frac{z^2\bar{z}^2\cdot n}{2\cdot n}$

А если не "что то такое", а точно?

(Оффтоп)

Для четного эн получится почти то, что у Вас написано (только там сумма, а не произведение).

[AlexChek]

Да, вы совершенно правы, насчет суммы ступил. так же, из соображения, что $ z=a+ib, \bar{z}=a-ib $
Тогда так $B_n=\frac{(z^2 + \bar{z}^2)n}{2n}=(a^2-b^2)$

[AlexChek]

А вообще, на что влияет это T? И вы что-то сказали про то, что последовательность распадется на 2

[DeBill]

AlexChek в сообщении #1398530 писал(а):

Как я понял решение будет связанно с Чезаровским средним,

Да, если говорить о пределе последовательности, а не о сумме ряда.
Кто такие Ваши $B_n$, я не очень понял...
"Распадается на две последовательности" - речь идет о $A_n$; две - одна - с четными номерами, другая - с нечетными. Посчитайте!
Роль $T$: условие "зет из Тэ" означает, что зет - корень из единицы степени 38 (для а)). Так что ответ $\frac{a^-b^2}{2}$ - это какой то косинус, почти вполне конкретный.

[AlexChek]

Я совсем запутался, я исходил из того, что нашел какое-то решение подобной задачи
$ f(z)=z^2, Sz=z+\frac{2}{3}, S^2z=z+\frac{1}{3}$
$ A_n(z)=\frac{ f(z)+f(Sz)+...f(S^{n-1}z)}{n}=\frac{(z^2+(z+\frac{2}{3})^2+(z+\frac{1}{3})^2)\frac{n}{3}}{n} $
$ \tilde{A}$_n(z)=\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{3} (z^2+(z+\frac{2}{3})^2+(z+\frac{1}{3})^2) dz $
Не могли посоветовать что-то, по данной теме? Смотрел про временное среднее, траекторию точки и теорему об эргодичности, и в данный момент уже каша в голове

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) - содержимое картинки можно и нужно набрать в тексте сообщения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[demolishka]

AlexChek в сообщении #1399037 писал(а):

Не могли посоветовать что-то, по данной теме?

Ну что советовать, если Вы даже композицию $f(S^{k}z)$ не можете вычислить правильно... Для решения этой задачи (нахождения предела) вообще ничего знать не нужно. Для понимания может стоит разобраться в эргодической теореме Биркгофа-Хинчина, но уж ни в коем случае не применять ее тут для решения. Суммируется последовательность из $n$ членов $z^{2} + \overline{z}^{2} + z^{2} +\overline{z}^{2} + \ldots$ и усредняется (делится на $n$) - какой у нее предел?

[AlexChek]

По сути будет так, если я не ошибаюсь $A_n=\frac{z^2+\bar{z}^2+z^2...}{n}=\frac{(z^2+\bar{z}^2)\cdot \frac{n}{2}}{n}=z^2+\bar{z}^2$, а что дальше? Я выше писал пример, который я нашел на просторах интернета, там брался интеграл. (Насколько я понял, в ответе должен быть численный ответ). Влияет ли как то $ T=\left\lbrace S^{38}=1\right\rbrace$
И вопрос по поводу случая б), там ведь получится, что $A_n=\frac{z^5-z^5+z^5...}{n}=0$.
Простите, я реально очень туплю, ибо на практике ничего подобного не было, и была одна лишь лекция, на которой практически ничего не было рассказано.

[demolishka]

AlexChek в сообщении #1399418 писал(а):

а что дальше?

Дальше проверять вычисления:

AlexChek в сообщении #1399418 писал(а):

$\frac{(z^2+\bar{z}^2)\cdot \frac{n}{2}}{n}=z^2+\bar{z}^2$

AlexChek в сообщении #1399418 писал(а):

Я выше писал пример, который я нашел на просторах интернета, там брался интеграл.

В интернетах много чего пишут. Если и писать интеграл, то точно не такой, как Вы написали.

AlexChek в сообщении #1399418 писал(а):

Влияет ли как то $ T=\left\lbrace S^{38}=1\right\rbrace$

Вот подставьте (после исправления) $z$ из $T$, предварительно записав его в удобном виде, и сосчитайте.

AlexChek в сообщении #1399418 писал(а):

там ведь получится, что $A_n=\frac{z^5-z^5+z^5...}{n}=0$.

Такого не получится. Опять по причине неаккуратности.

AlexChek в сообщении #1399418 писал(а):

на практике ничего подобного не было, и была одна лишь лекция, на которой практически ничего не было рассказано.

Вычислению пределов учат на анализе. Если эту задачу рассматривать как задачу по эргодической теории, то нужно не только найти предел, но и сопоставить результат с эргодической теоремой Биркгофа-Хинчина.