Объединение двух разбиений.

[trunb1]

Пусть:
$T_2=T \cup T_1$
Тогда:
$\Omega (T)-\Omega (T_2)=\sum_{(k)}\omega_k \Delta x_k$ по всем $k$ из разбиения $T_2$, внутрь которых попали точки из $T_1$.

Почему мы суммируем "по всем $k$ из разбиения $T_2$, внутрь которых попали точки из $T_1$"?

Попробуем для простоты доказать для одного отрезка $[a,b]$ . Пусть: $T= \{ a,b \} $ $T_1=\{a,x_0,b\}$:
$\Omega (T)-\Omega (T_1)=\omega \Delta x -\omega_1 \Delta x_1-\omega_2 \Delta x_2$, где $\Delta x_1 + \Delta x_2=\Delta x$, $\omega=M-m$, $\omega_1+\omega_2=\omega$.

Но такое рассуждение не приводит ни к чему "хорошему". В какую сторону тут лучше пойти?

[DeBill]

Видимо, речь идет о суммах Дарбу... И здесь -

trunb1 в сообщении #1398195 писал(а):

Пусть:
$T_2=T \cup T_1$

- опечатка (надо $T=T_2 \cup T_1$ ).
Хотя, все равно равенства того не будет (должно быть : эта сумма - с минусом, да еще - с плюсом - соответствующие слагаемые из первой суммы); правда, будет похожее неравенство.
В примере: омега вовсе не обязана быть равной сумме двух других омег..

trunb1 в сообщении #1398195 писал(а):

В какую сторону тут лучше пойти?

Написать честную оценку нужной разности интегральных сумм.

[trunb1]

DeBill
Опечатки вроде как нету

[DeBill]

trunb1 в сообщении #1398211 писал(а):

Опечатки вроде как нету

Ну, тогда равенство неверно, так что где то опечатка все равно есть. Может, там у Вас неравенство все таки?

Да посмотрите конкретный пример (только функцию возьмите немонотонной, чтобы не было иллюзий типа "колебание на отрезке равно сумме колебаний на его частях").
Впрочем, уже Ваш пример (с неявно использованной монотонностью) показывает: неверно то равенство....