Витая пара и помеха

[EUgeneUS]

Витая пара длины $L$ протянута вдоль оси $Ox$
Имеется магнитное поле создающее эдс помехи:
а) $\vec{B} = B_0 \sin(\omega t) e^{-\alpha x} \vec{e_y}$
б) $\vec{B} = B_0 \sin(\omega t) \frac{\alpha}{x^2} \vec{e_y}$
в) $\vec{B} = B_0 \sin(\omega t) \frac{\alpha}{x^3} \vec{e_y}$

где, $\vec{e_y}$ - единичный вектор вдоль оси $Oy$

Во сколько раз изменится ЭДС помехи, если шаг витой пары будет уменьшен в два раза?

(Оффтоп)

Вариант а) довел до ответа, оказалось все не очень сложно.
Варианты б) и в) несколько сложнее, но исключительно в части математических выкладок.

[AnatolyBa]

Такое поле невозможно в пустом пространстве, не так ли? Это мне несколько мешает.
Можно, конечно, представить, что витая пара проходит через какую-то среду, где течет заданный ток, например, в $z$ направлении, причем зависящий от $x$.
Красивее всего, по-моему, решать через векторный потенциал (можно и в лоб). Но, в любом случае, результат зависит от того, как пара устроена в точке $0$.
Непонятно также, что делать с бесконечностями в нуле во втором и третьем случае. Не видно, чтобы они сокращались

[EUgeneUS]

AnatolyBa
Спасибо за ответ.

AnatolyBa в сообщении #1397710 писал(а):

Такое поле невозможно в пустом пространстве, не так ли? Это мне несколько мешает.

В таком, как указано - невозможно. Да.
Но можно добавить компоненту поля, эдс помехи от которой должно быть мало, но производная от которой обнулит ротор:
$B_x=0$ вдоль $Ox$ и $\frac{\partial B_x}{\partial y} = \frac{\partial B_y}{\partial x}$

AnatolyBa в сообщении #1397710 писал(а):

Непонятно также, что делать с бесконечностями в нуле во втором и третьем случае. Не видно, чтобы они сокращались

Очередная моя неаккуратность. Витую пару в этих случаях нужно "прикручивать" на некотором расстоянии
б) $B_y = \sin(\omega t) \frac{\alpha}{(x+\tilde{l})^2}$
в) $B_y = \sin(\omega t) \frac{\alpha}{(x+\tilde{l})^3}$

и школьно-рабоче-крестьянский метод, которым пользовался в первом случае, похоже, даст в этих случаях большую ошибку

[EUgeneUS]

UPD:

EUgeneUS в сообщении #1397747 писал(а):

Но можно добавить компоненту поля,

Лучше даже так уточнить: указанные соотношения для $\vec{B}$ выполняются на оси $Ox$.
Тогда для варианта в) подходит поле диполя, витая пара протянута вдоль оси, перпендикулярной дипольному моменту.

[AnatolyBa]

Может быть что-то вроде $B_y=F(x)-\frac{1}{2}y^2F''(x)$ , $B_x=yF'(x)$ (без временного множителя).
Существенна ли зависимость $B_y$ от $y$ (а она нужна, чтобы и дивергенцию спасти)? Может быть и существенна - в зависимости от того, как точно устроена витая пара.
По крайней мере у меня, в предположении двойной спирали, при интегрировании этот член не исчезает

[EUgeneUS]

AnatolyBa в сообщении #1397821 писал(а):

Может быть что-то вроде

так ротор же развалился...

для варианта с экспонентой и $B_z\equiv 0$ у меня не сложилось. Но сложилось вот такое:
$B_x = 4 e^{-4x} \sin{5y} \ch{3z}$
$B_y = -5 e^{-4x} \cos{5y} \ch{3z}$
$B_z = -3 e^{-4x} \sin{5y} \sh{3z}$

Вроде бы и ротор на месте, и дивергенция, и $B_y(x,0,0) = 4 e^{-4x}$, и $B_x(x,0,0) = B_z(x,0,0) = 0$

-- 05.06.2019, 17:59 --

AnatolyBa в сообщении #1397821 писал(а):

в зависимости от того, как точно устроена витая пара.

предлагаю считать витой парой двойную спираль, такую что:

$d$ - расстояние между проводами.
$l$ - длина витка
$N = \frac{L}{l}$ - количество витков на заданной длине.
При этом:
$\frac{l}{d} >> 1$ (в реальных приложениях порядка десяти)
$N >> 1$ (в реальных приложениях порядка десяти - ста, то есть может оказаться того же порядка, что и $\frac{l}{d}$, или на порядок больше).

[AnatolyBa]

EUgeneUS в сообщении #1397893 писал(а):

так ротор же развалился

Да, это я ошибся.
Но можно так - ищем векторный потенциал в виде $A_x=A_y=0 , A_z=A_z(x,y)$. Это сразу дает $B_z=0$.
$A_z(x,y)$ должен быть гармонической фунцией от $x,y$, которую можно искать в виде $\operatorname{Re}(f(z))$ , где $f(z)$ - аналитическая функция от $z=x+iy$

[EUgeneUS]

AnatolyBa
с $B_z\equiv 0$, что-то запутался со знаками, а слона-то и не приметил:
$B_x = -e^{-x} \sin y$
$B_y = e^{-x} \cos y$

и $A_z(x,y) = e^{-x} \cos y$

[LMA]

Будет ли экспериментальная проверка? Было бы интересно попытаться предсказать результаты измерений.

[EUgeneUS]

LMA
Так задача и появилась из практического вопроса: "Нужно ли мотать витую пару туго, или "так сойдет"?". Поднимал его в "технике и механике", там много чего обсудили, но вот на этот вопрос ответа не было.
Школьно-колхозным методом решил для случая с экспонентой. Потом, махая шашкой, решил, что его можно применить и для других случаев.

Но там есть две спекуляции. Одна ставит под сомнение его применимость для случаев, отличных от экспоненты.
Вторая - это вопрос, а не набежит ли добавочка из-за того, что $B_x$ не равна тождественно нулю, а только на оси витой пары (или, что почти тоже самое, из-за того, что $B_y$ зависит от $y$), и которая окажется растущей с количеством витков или с длинной куска витой пары. Вроде бы не должна...

[LMA]

Я эту тему видел, поэтому и спрашиваю. В принципе, у меня есть доступ к векторному анализатору цепей. Надо только продумать условия эксперимента.

[EUgeneUS]

LMA
Я правильно понимаю, что Вашему векторному анализатору цепей можно "скормить" заданное в пространстве магнитное поле, конфигурацию проводников, а он выдаст разность потенциалов в указанных точках?

Если да, то можно ли задать конфигурацию проводников в виде двойной спирали?

[LMA]

Нет, не правильно. См. VNA.
Этим прибором можно померить S-параметры.

[EUgeneUS]

LMA
Понятно, спасибо за разъяснения.
Что-то мне сомнительно, что S-параметры как-то помогут в этой задаче...