Оценка дисперсии суммы ограниченных случайных величин

[vicvolf]

Требуется доказать:

Пусть в одном вероятностном пространстве существует последовательность ограниченных дискретных случайных величин $g_i,(1 \leq i \leq n)$, где значения $g_i$ равны $g_i(k),(1 \leq k \leq n)$. Определим случайную величину $G_n=\sum_{i=1}^n {g_i}$. Тогда справедлива следующая оценка для дисперсии: $D[G_n]=O(n)$.

Попытка доказательства:

Так как $G_n=\sum_{i=1}^n {g_i}$, то:

$D[G_n]=M[G_n^2]-(M[G_n])^2=M[\sum_{i=1}^n {g_i^2}+\sum \sum_{i \not= j} {g_i g_j}]-(M[\sum_{i=1}^n {g_i}])^2$, (1)
где $M[a]$ - среднее значение (математическое ожидание) случайной величины $a$.

Воспользуемся тем, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий, тогда (1) можно записать в виде:

$D[G_n]=\sum_{i=1}^n {M[g_i^2]+\sum \sum_{i \not= j} M[{g_i g_j}]- (\sum_{i=1}^n {M[g_i]})^2$. (2)

Обозначим $\sum_{i=1}^n {M[g_i^2]=A,\sum \sum_{i \not= j} M[{g_i g_j}]=B,(\sum_{i=1}^n {M[g_i]})^2=C$.

Следовательно, на основании (2):

$D[G_n]=A+B-C$.

Сделаем оценку:

$|D[G_n]| = |A+B-C| \leq |A|+|B-C|$. (3)

Оценим |A|, учитывая, что для ограниченной случайной величины выполняется $|g_i(k)| \leq C$:

$|A|=|\sum_{i=1}^n ((\sum_{k=1}^n {g_i^2(k)}) /n)| \leq C^2n$. (4)

Оценим $|B-C|$:

$$|B-C|=|\sum \sum_{i \not= j} ((\sum_{k=1}^n {g_i(k)g_j(k)})/n)-(\sum_{i=1}^n {(\sum_{k=1}^n {g_i(k)})/n)^2}| \leq |C^2n(n-1)-C^2n^2|=C^2n.(5)$$

.

Подставим (4),(5) в (3) и получим: $|D[G_n]| \leq |A| +|B-C| \leq 2C^2n$ или $D[G_n]=O(n)$ ч.т.д.

У меня есть сомнение в полученном результате, так как не требовалась независимость случайных величин?

[ozheredov]

Предположим, что все СВ равны друг другу. Что, дисперсия суммы снова будет расти как n?

[vicvolf]

ozheredov в сообщении #1397623 писал(а):

Предположим, что все СВ равны друг другу. Что, дисперсия суммы снова будет расти как n?

Не понял Вас. Вы имеете в виду случай когда $C=B$? В этом случае $D[G_n]=A$ и оценка определяется по формуле (4). Там внутренняя сумма по $k$ не превышает $C^2n$ и деленная на $n$ - $C^2$. Поэтому внешняя сумма по $i$ не превышает - $C^2n$.

[Lia]

vicvolf
Совершенно очевидно, что именно имеется в виду. Пусть $\xi_1=\ldots = \xi_n=\xi$ одинаково распределенные случайные величины с ненулевой дисперсией.
$D(\xi_1+\ldots+\xi_n)=...$
попробуйте дальше сами, пожалуйста.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1397662 писал(а):

vicvolf
Совершенно очевидно, что именно имеется в виду. Пусть $\xi_1=\ldots = \xi_n=\xi$ одинаково распределенные случайные величины с ненулевой дисперсией.

А они не могут быть равны по определению: $g_1$ принимает одно значение, ....., $g_n$ принимает $n$ значений.

[ozheredov]

vicvolf

Напишите, что должно быть вместо трёх точек после знака равенства в сообщении Lia, и всё будет вам понятно

[vicvolf]

Извините, но Вы просите разобрать меня случай, который не относится к данной задаче. По условию случайная величина $g_1$ принимает значение $g_1(1)$, случайная величина $g_2$ принимает уже два значения $g_2(1),g_2(2)$ и.т.д. Случайные величины по условию задачи не равны и не имеют одинаковых распределений. Это моя задача и я знаю

[Someone]

vicvolf в сообщении #1397504 писал(а):

последовательность ограниченных дискретных случайных величин

В каком смысле "ограниченных"? Случайная величина, принимающая конечное число различных значений, всегда ограничена. Сформулируйте точное условие, которое Вы имеете в виду.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1397714 писал(а):

Случайная величина, принимающая конечное число различных значений, всегда ограничена.

А если одно из этих значений - бесконечность?

-- 04.06.2019, 15:57 --

Здесь надо уточнить:
где значения $g_i$ равны $g_i(k),(1 \leq k \leq i)$.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1397715 писал(а):

А если одно из этих значений - бесконечность?

"Бесконечность" — не число.
Вы всё-таки на вопрос-то ответьте.

[upgrade]

vicvolf в сообщении #1397708 писал(а):

случайная величина $g_1$ принимает значение $g_1(1)$

Это как? Это просто константа?

[Someone]

upgrade в сообщении #1397720 писал(а):

Это как? Это просто константа?

Очевидно, да. Вырожденная случайная величина. Ну хочется человеку, пусть себе.

vicvolf в сообщении #1397715 писал(а):

А если одно из этих значений - бесконечность?

Да, кстати, я действительно встречал ситуации, когда одно из значений случайной величины было "бесконечным", причём имело положительную вероятность. Такие случайные величины называются несобственными и встречаются, например, в теории ветвящихся процессов (и не только там).

Но для них вычислять математическое ожидание и дисперсию бессмысленно, так что забудьте о них. Ответьте, пожалуйста, на мой вопрос. А то надоело уже это толчение воды в ступе.

[vicvolf]

Извините сегодня без компа, отвечу завтра.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1397714 писал(а):

Сформулируйте точное условие, которое Вы имеете в виду.

Пусть в одном вероятностном пространстве существует последовательность дискретных случайных величин $g_i,(1 \leq i \leq n)$, где значения $g_i$ равны $g_i(k),(1 \leq k \leq i)$ и выполняется оценка $|g_i(k)| \leq C$. Определим случайную величину $G_n=\sum_{i=1}^n {g_i}$. Тогда справедлива следующая оценка для дисперсии: $|D[G_n]| \leq 2C^2n$.

Someone в сообщении #1397726 писал(а):

upgrade в сообщении #1397720 писал(а):

Это как? Это просто константа?

Очевидно, да. Вырожденная случайная величина.

Именно так.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1397845 писал(а):

выполняется оценка $|g_i(k)| \leq C$

Понятно.

vicvolf в сообщении #1397845 писал(а):

Тогда справедлива следующая оценка для дисперсии: $|D[G_n]| \leq 2C^2n$.

Если ваши случайные величины независимые, то оценка дисперсии верна (я бы даже оценил её величиной $C^2(n-1)$).
Что касается зависимых случайных величин, то для них такая оценка неверна. Рассмотрите крайний случай: $g_2=g_3=\ldots=g_n$. И пусть они принимают значения $\pm C$ с равными вероятностями (если Вам хочется, чтобы $g_i$ имела ровно $i$ различных значений, формально добавьте недостающие с нулевыми вероятностями; помните, что нулевая вероятность не означает невозможности).