Пифагоровы тройки и прямые

[vlmit]

С помощью простого построения легко получить геометрическую иллюстрацию равенства $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ в целых числах. Однако, совершить такое же по смыслу построение для произвольно выбранных $k$ и $l$, с помощью которых получается пифагорова тройка $x = k^2 - l^2, y = 2kl, z = k^2+l^2; x^2 + y^2 = z^2$, мне не удалось. Как начать решать данную задачу? И разумно ли считать, что для произвольного решения диофантова уравнения можно осуществить построение на плоскости в прямых линиях (пользуясь только аксиомами Евклида и теоремой Фалеса)? Прошу у Вас помощи, уважаемые обитатели форума.

[arseniiv]

В том смысле, что по отрезкам длин $k, l$ строятся отрезки длин $x, y, z$? Очевидно, придётся принять некоторый отрезок за единичный, потому что без этого размерности не сойдутся. После этого всё строится обычным образом, где самое сложное из всего — построение по отрезкам длин $a, b, c$ отрезка длины $ab/c$ по той самой теореме Фалеса; и здесь во всех случаях $c$ будет длиной отрезка, принятого единичным.

[vlmit]

arseniiv
Разумеется, на построении должен присутствовать отрезок, длина которого будет принята за единицу. Не вполне понял ход Вашей мысли про отрезок длиной $\frac{ab}{c}$ - это для равенства $a^2 + b^2 = c^2$, и тогда этот отрезок будет высотой треугольника? Мне понятно, как провести арифметические операции с отрезками, но трудность в том, чтобы уместить построение в единый ансамбль, как это делается для доказательств теоремы Пифагора, например.

[arseniiv]

А, в единый ансамбль, понятно. А с какой целью?

-- Пн июн 03, 2019 00:53:30 --

Вообще если вы уже проделали все нужные построения на каком-то листе, наверняка же будет видно, как можно их соединить в этот ансамбль хотя бы частично. Правда, я лично сомневаюсь, что это хорошо скажется на наглядности всей затеи.

[vlmit]

arseniiv
Чтобы любоваться красотой пропорций. Проделывал построения по отдельности (правда, в уме), но удачных идей в голову не пришло.

(Оффтоп)

Подробный ответ скорее из области философии, чем математики, и займет тут много места. Это разрешено правилами форума?

[arseniiv]

Можно ещё представить $x, y, z$ площадями, вписав квадраты со сторонами $k, l$ (последний два раза — внутри первого и снаружи) и прямоугольник со сторонами $k, 2l$ все в прямоугольник со сторонами $k, k+l$. Проведёнными отрезками одна его сторона разделится на $k-l, l, l$ и другая на $l, k-l$, но как связать уже вторые степени площадей большого квадрата без маленького ($x$), большого квадрата с маленьким ($z$) и того прямоугольника ($y$) не через алгебру, не имею понятия. Но упаковываются эти фигуры вместе показательно ровно.

vlmit в сообщении #1397389 писал(а):

Проделывал построения по отдельности (правда, в уме), но центра так и не увидел.

Попробуйте на бумаге, это помогало даже людям с хорошо натренированным геометрическим воображением.

vlmit в сообщении #1397389 писал(а):

Подробный ответ скорее из области философии, чем математики, и займет тут много места. Это разрешено правилами форума?

Не знаю. Скорее всего это зависит от ответа. Если от этого не будет зависеть положение тонкой грани между приемлемыми и неприемлемыми предложениями построения, то можно просто не писать подробный.

[vlmit]

arseniiv
Благодарю за идею! Но Вы правы, все упирается в степени.

arseniiv в сообщении #1397391 писал(а):

Попробуйте на бумаге, это помогало даже людям с хорошо натренированным геометрическим воображением.

Увы, дело тут больше не в хорошем воображении, а в отсутствии хороших идей, бумагу жалко тратить.

(Оффтоп)

Условия для построения изложены выше, а цель возникла из мыслей о зеркалах и законе отражения света. Понятие предела можно выразить с помощью зеркального коридора. А можно ли тогда с помощью системы зеркал задать какой-нибудь численный метод? И тут начались трудности. Как вообще сочетать в одном построении на плоскости разные степени целых чисел?

[arseniiv]

vlmit в сообщении #1397399 писал(а):

Как вообще сочетать в одном построении на плоскости разные степени целых чисел?

Другого способа, кроме уже известного вам выбора единичного отрезка, не видно.

[B@R5uk]

По-моему, из-за требования "наглядности" задача обречена на провал. В конечном счёте вам придётся манипулировать с 4-ми степенями k и l, а это означает использование гипер-параллелепипедов в 4-мерном пространстве. И не факт ещё, что их удастся правильно разрезать и сложить. Впрочем, если всё-таки удастся, у вас получится концептуально правильное, хоть и не наглядное геометрическое доказательство.

[vlmit]

arseniiv
Имел в виду не единичные отрезки или площади (их присутствие на построении обязательно), а проблемы с нормированием (если так правильно говорить) старших степеней. Например, как разрезать куб, чтобы получить равенство $6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3$? Мыслю так: разложим сторону куба, равную $6$, на три неравных слагаемых: $3$, $2$ и $1$. Теперь пусть их кубы войдут в разложения $3^3$, $4^3$, $5^3$:

$$3^3 = 2^3 + 1^3 + 3\cdot2^2\cdot1 + 3\cdot1^2\cdot2$$

$$4^3 = 3^3 + 1^3 + 3\cdot3^2\cdot2 + 3\cdot1^2\cdot3$$

$$5^3 = 3^3 + 2^3 + 3\cdot3^2\cdot2 + 3\cdot2^2\cdot3$$

Вижу симметрию в получившихся выражениях и пытаюсь так расположить получившиеся кубы и параллелепипеды в исходном кубе с ребром $6$, чтобы при проецировании на плоскость получилась симметричная фигура. Вдруг это поможет получить другое целочисленное разложение куба на три куба? И так далее. Простите, если выражаюсь косноязычно.

B@R5uk
Наглядность не так важна, как результат в виде построения. Благодарю, кажется, Вы правы, что кратчайший путь - проделать все операции в четырехмерном пространстве, спроецировав их потом на плоскость (если получится).

[arseniiv]

vlmit в сообщении #1397498 писал(а):

Имел в виду не единичные отрезки или площади (их присутствие на построении обязательно), а проблемы с нормированием (если так правильно говорить) старших степеней. Например, как разрезать куб, чтобы получить равенство $6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3$?

Ну если у нас единичный отрезок есть, мы можем разрезать не куб, а что-то меньшей (или наоборот большей, но это выглядит бесполезнее) размерности, в том и плюс, и необходимость, если мы стеснены в размерности выбранного пространства, но нам попадаются слишком большие степени, чтобы быть представленными соответствующей мерой.

vlmit в сообщении #1397498 писал(а):

Вдруг это поможет получить другое целочисленное разложение куба на три куба?

Кстати тут в принципе есть почти точный ответ: если выражение обобщается на произвольные кубы, то есть если например есть подобные разложения $n^3$ для любого $n$ на достаточно хорошо зависящее от $n$ число слагаемых (например не более чем кубически), самих вменяемо определяемых значением $n$, то наверняка найдётся и построение, а если общего способа нет или он не очень приятен, то наверняка построения нет. Кубы тут для примера.

[vlmit]

Благодарю Вас за замечания и ценные советы, arseniiv!
Наверное, общий способ имеется в случае бесконечного количества рациональных решений диофантового уравнения. Можно предположить, что есть некоторое построение, из которого можно получать произвольное решение данного уравнения, манипулируя разделением одного из отрезков на количество целых. Будет чудесно, если удастся так решить теорему Пифагора.

[Someone]

(vlmit)

vlmit в сообщении #1397583 писал(а):

Будет чудесно, если удастся так решить теорему Пифагора.

Что это может означать: "решить теорему"?

[vlmit]

(Someone)

Someone в сообщении #1397605 писал(а):

Что это может означать: "решить теорему"?

Здесь это означает "доказать". Прошу прощения за такую режущую слух математика ошибку - все время что-нибудь да ляпну.

[vlmit]

Приношу извинения за возвращение к старой теме и прошу критики.

Путем разрезания гиперкуба и арифметических вычислений можно получить соотношение из первого сообщения темы. Для этого разрежем квадрат со стороной $(k+l)$ двумя парами прямых: $(k-l)^2+4l(k-l)+4l^2=(k+l)^2$. Потом схожим образом разрежем куб плоскостями: $(k-l)^2(k+l)+4l(k-l)(k+l)+4l^2(k+l)=(k+l)^3$. Наконец, разрежем гиперкуб гиперплоскостями: $(k-l)^2(k+l)^2+4l(k-l)(k+l)^2+4l^2(k+l)^2=(k+l)^4$. Сочетая слагаемые после раскрытия третьей скобки в последнем соотношении, получим искомое равенство: $(k-l)^2(k+l)^2+4k^2l^2=(k^2+l^2)^2$. Однако, подлинно геометрическим такое решение назвать нельзя. Кажется, оно больше относится к области комбинаторики или программирования (например, получить диофантовы уравнения, разрезая кубы разных размерностей; вероятно, этим уже кто-то занимался).

К счастью, мне удалось встретить книгу, в которой подробно разобраны решения задач с помощью построений. Но возникли новые вопросы, связанные равно с алгеброй и геометрией. Над задачами, решение которых нельзя осуществить построением с помощью циркуля и линейки, но для которых можно осуществить построение с достаточной точностью, словно витает дух метода бесконечного спуска Ферма. В качестве примера тут можно взять задачу об удвоении куба. Можно ли предположить, что метод бесконечного спуска - это только половина общего метода, который Ферма мог применять при доказательстве утверждений? И если утверждение говорит о существовании решения, можно ли через доказательство "от противного" показать наличие минимального решения? Известно, что так французский математик доказал разложение простого числа вида $4n+1$ на сумму двух квадратов. Возможно, схожим методом удастся показать и существование минимального разложения квадрата на два квадрата (существование дерева примитивных пифагоровых троек вселяет надежду на это). Жаль, конечно, что доказательство теоремы Ферма элементарными методами еще не повторили - думаю, с его помощью многое бы прояснилось. Но можно ли где-то почитать статьи о теории чисел, методе бесконечного спуска и его геометрической трактовке, в которых не используются современные математические понятия?