Помогите найти двойной предел

[Andrewkin77]

Найти предел или доказать, что его не существует: $\lim\limits_{(x,y) \to (\infty,0)} x^y$
Я вообще не понимаю, что тут делать. Этого предела, вроде, не существует, но как это доказать? По направлениям я рассмотрел, там все хорошо. Смотрел для $y = \frac{k}{x}$, может, другое направление рассмотреть? Полярные координаты не помогают, такие пределы с помощью правила Лопиталя решаются, а с полярными координатами это не работает. Что я упускаю, подскажите, пожалуйста?

[Dan B-Yallay]

Прологарифмируйте $x^y$, может натолкнёт на некоторые идеи.

[Andrewkin77]

Dan B-Yallay в сообщении #1397352 писал(а):

Прологарифмируйте $x^y$, может натолкнёт на некоторые идеи.

Я логарифмировал, но что дальше? Я знаю, как раскрывать такую неопределенность для функций одной переменной, но здесь же так не получится. Я логарифмировал, когда смотрел по направлениям. Логарифмировал, переходил к полярным, но дальше ведь надо брать по правилу Лопиталя, а с полярными координатами его использовать нельзя. Или я неправ?

[nnosipov]

Andrewkin77 в сообщении #1397346 писал(а):

Смотрел для $y = \frac{k}{x}$, может, другое направление рассмотреть?

Здравая идея.

[Andrewkin77]

nnosipov в сообщении #1397357 писал(а):

Andrewkin77 в сообщении #1397346 писал(а):

Смотрел для $y = \frac{k}{x}$, может, другое направление рассмотреть?

Здравая идея.

Не подскажете по какому? Увеличение степени знаменателя ничего не даст, это я пробовал.

[nnosipov]

Andrewkin77
Сделайте так, чтобы $y$ стремился к нулю, но помедленней.

[Dan B-Yallay]

Ну вот я тоже прологарифмировал и получил:

$$x^y = e^{y\ln x}$$

Могут $y \to 0,\ x \to \infty$ таким образом чтобы их произведение стремилось к нулю? Могут.
А чтобы cтремилось к бесконечности -- могут? Тоже. Они оба могут.

А я даже еще хитрее могу сделать. Но не скажу как.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1397361 писал(а):

Они оба могут.

Павел может лететь в Ленинград? Может! А Женя? Тоже может ... :)

[alcoholist]

Andrewkin77 в сообщении #1397346 писал(а):

Смотрел для $y = \frac{k}{x}$

попробуйте подобрать такие функции $f(x)$, что $f(x)\to 0$ при $x\to\infty$ и для которых предел $\lim_{x\to \infty} [f(x)]^x$ легко считается.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1397363 писал(а):

Павел может лететь в Ленинград? Может! А Женя? Тоже может ... :)

Вложение:

they2can.gif [ 202.63 Кб | Просмотров: 2396 ]

именно к этой сцене набирал сообщение ...

[Andrewkin77]

Хорошо, я понял, что мне нужно рассмотреть такое направление, при котором это произведение даёт бесконечность, ведь второй случай я уже получил. Для этого нужно, чтобы $y$ стремился к нулю медленнее, чем $x$ к бесконечности. Но я пока не могу придумать такое направление

[Someone]

Andrewkin77 в сообщении #1397367 писал(а):

при котором это произведение даёт бесконечность

Не обязательно бесконечность. Главное, чтобы результат отличался от того, который получился первый раз.

[Andrewkin77]

Я понимаю. Но я все равно никак не могу подобрать такое направление. Пробовал отношение степенной к показательной, синус, корни в знаменателе, но все равно произведение логарифма на мою функцию равно нулю. Я упускаю что-то совсем очевидное?

[Lia]

Ага.

[Andrewkin77]

Это $y= \frac{k}{\ln(x)}$ ? Даа, что-то я конкретно перемудрил с этим примером)) Прям вот все перебрал, а до самого очевидного не додумался) Спасибо всем, что направили меня в нужном направлении!