2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 19:01 


02/06/19
16
Найти предел или доказать, что его не существует: $\lim\limits_{(x,y) \to (\infty,0)} x^y$
Я вообще не понимаю, что тут делать. Этого предела, вроде, не существует, но как это доказать? По направлениям я рассмотрел, там все хорошо. Смотрел для $y = \frac{k}{x}$, может, другое направление рассмотреть? Полярные координаты не помогают, такие пределы с помощью правила Лопиталя решаются, а с полярными координатами это не работает. Что я упускаю, подскажите, пожалуйста?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
Прологарифмируйте $x^y$, может натолкнёт на некоторые идеи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 20:09 


02/06/19
16
Dan B-Yallay в сообщении #1397352 писал(а):
Прологарифмируйте $x^y$, может натолкнёт на некоторые идеи.

Я логарифмировал, но что дальше? Я знаю, как раскрывать такую неопределенность для функций одной переменной, но здесь же так не получится. Я логарифмировал, когда смотрел по направлениям. Логарифмировал, переходил к полярным, но дальше ведь надо брать по правилу Лопиталя, а с полярными координатами его использовать нельзя. Или я неправ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 20:16 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Andrewkin77 в сообщении #1397346 писал(а):
Смотрел для $y = \frac{k}{x}$, может, другое направление рассмотреть?
Здравая идея.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 20:22 


02/06/19
16
nnosipov в сообщении #1397357 писал(а):
Andrewkin77 в сообщении #1397346 писал(а):
Смотрел для $y = \frac{k}{x}$, может, другое направление рассмотреть?
Здравая идея.

Не подскажете по какому? Увеличение степени знаменателя ничего не даст, это я пробовал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 20:24 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Andrewkin77
Сделайте так, чтобы $y$ стремился к нулю, но помедленней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
Ну вот я тоже прологарифмировал и получил:
$$x^y = e^{y\ln x}$$

Могут $y \to 0,\ x \to \infty$ таким образом чтобы их произведение стремилось к нулю? Могут.
А чтобы cтремилось к бесконечности -- могут? Тоже. Они оба могут.

А я даже еще хитрее могу сделать. Но не скажу как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 20:30 
Заслуженный участник


20/12/10
9050

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1397361 писал(а):
Они оба могут.
Павел может лететь в Ленинград? Может! А Женя? Тоже может ... :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Andrewkin77 в сообщении #1397346 писал(а):
Смотрел для $y = \frac{k}{x}$

попробуйте подобрать такие функции $f(x)$, что $f(x)\to 0$ при $x\to\infty$ и для которых предел $\lim_{x\to \infty} [f(x)]^x$ легко считается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1397363 писал(а):
Павел может лететь в Ленинград? Может! А Женя? Тоже может ... :)
Вложение:
they2can.gif
they2can.gif [ 202.63 Кб | Просмотров: 2293 ]

именно к этой сцене набирал сообщение ... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 20:45 


02/06/19
16
Хорошо, я понял, что мне нужно рассмотреть такое направление, при котором это произведение даёт бесконечность, ведь второй случай я уже получил. Для этого нужно, чтобы $y$ стремился к нулю медленнее, чем $x$ к бесконечности. Но я пока не могу придумать такое направление

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Andrewkin77 в сообщении #1397367 писал(а):
при котором это произведение даёт бесконечность
Не обязательно бесконечность. Главное, чтобы результат отличался от того, который получился первый раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 21:49 


02/06/19
16
Я понимаю. Но я все равно никак не могу подобрать такое направление. Пробовал отношение степенной к показательной, синус, корни в знаменателе, но все равно произведение логарифма на мою функцию равно нулю. Я упускаю что-то совсем очевидное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 22:04 


20/03/14
12041
Ага.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти двойной предел
Сообщение02.06.2019, 22:17 


02/06/19
16
Это $y= \frac{k}{\ln(x)}$ ? Даа, что-то я конкретно перемудрил с этим примером)) Прям вот все перебрал, а до самого очевидного не додумался) Спасибо всем, что направили меня в нужном направлении!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group