Инвариантное подпространство

[BabyRooJr]

Доброго времени суток! Задача: требуется доказать что у оператора и обратного к нему оператора(если первый обратим) одинаковые инвариантные подпространства. Я так понимаю нужно доказать что если подпространство инвариантно относительно оператора, то и относительно обратного оно инвариантно. Но ведь если вектор лежит в подпространстве, не обязательно его прообраз тоже лежит в подпространстве? Подскажите пожалуйста

[iifat]

BabyRooJr в сообщении #1396949 писал(а):

если вектор лежит в подпространстве, не обязательно его прообраз тоже лежит в подпространстве?

Вообще, для произвольного вектора и подпространства — очевидно. Видимо, для инвариантного подпространства это не так.

[BabyRooJr]

Да, вроде никаких других условий не было, кроме невырожденности!

[VanD]

Если $A\colon V\to V$ -- изоморфизм, при этом $L$ -- $A$-инвариантное подпространство $V$, то можно рассмотреть ограничение оператора $A$ на $L$:

$$A|_L\colon L\to L$$

Будет ли оно изоморфизмом? Если будет, то его тоже можно будет обратить. И попробовать связать результат с ограничением обратного к $A$ на $L$.

[svv]

А верно ли утверждение?
$V$ — пространство бесконечных в обе стороны последовательностей вещественных чисел $(\ldots,x_{-2},x_{-1},x_0,x_1,x_2,\ldots)$.
Оператор $A$ сдвигает последовательность вправо, т.е. если $y=Ax$, то $y_k=x_{k-1}$ для всех целых $k$.
Очевидно, $A$ обратим, и $A^{-1}$ сдвигает последовательность влево.
Подпространство $L$ последовательностей, у которых элементы с отрицательными индексами нулевые, инвариантно относительно $A$, но не $A^{-1}$.

[ewert]

Конечно, речь о конечномерном случае -- в бесконечномерном даже само понятие обратимости несколько двусмысленно.

В конечномерном же обратимость равносильна невырожденности. Инвариантность подпространства означает, что оператор действует на нём "в". При этом инвариантность этого же подпространства для обратного означает, что исходный оператор действует не только "в", но и "на". Однако если последнее неверно, т.е. если образ подпространства имеет меньшую размерность, то сужение оператора на это подпространство тупо вырожденно -- а значит, вырожден и сам оператор, вот и всё.

-- Сб июн 01, 2019 08:31:43 --

svv в сообщении #1396976 писал(а):

$V$ — пространство бесконечных в обе стороны последовательностей

Кстати, ещё лучше взять последовательности односторонние. Тогда получится стандартный пример оператора изометрического, но не унитарного (чего в конечномерном случае быть, естественно, не может).

[BabyRooJr]

ewert
Спасибо за помощь!