Определение пустого множества

[kernel1983]

Здравствуйте! Есть задача определить пустое множество без кванторов, а потом доказать, что это определение равносильно "кванторному". Можно ли определить пустое множество (в наивной теории множеств) следующим образом: $M=\{ x \colon x \in M \wedge x \not \in M \} $? Потом можно доказать, используя лишь законы логики высказываний и определение равенства множеств, что множество $M$ равно пустому множеству тогда и только тогда, когда $ x \not \in M$, каким бы ни был элемент $x$. Или это полная чушь? Спасибо.

[arseniiv]

А запись $\{x : \varphi\}$ уже входит в язык? Часто она (и то не сама по себе, а как часть формул с $\in$ и $=$) понимается как сокращение формул с кванторами.

Если бы мне сказали «вот тебе константа $u$, постарайся добавить аксиом, чтобы она в моделях теории интерпретировалась только пустым множеством», я бы добавил аксиому $\forall x.\; x\notin u$. Если бы к тому же действовало соглашение, что можно опускать в аксиомах внешние кванторы всеобщности, я бы смог написать удовлетворяющее вашему заданию $x\notin u$.

Если же запись $\{x : \varphi\}$ допустима, то можно написать и как у вас, но лучше не включать $M$ в $\varphi$ и использовать какое-нибудь другое противоречие.

И вообще в контексте какой теории множеств этот вопрос? Обычно там или есть аксиома существования пустого множества (или как у меня, или с квантором существования, если мы не вводим константу заранее), или этот факт выводится.

[kernel1983]

arseniiv в сообщении #1396326 писал(а):

лучше не включать $M$ в $\varphi$ и использовать какое-нибудь другое противоречие.

Спасибо. Тоже подумал, что не очень хорошо упоминать неизвестное множество $M$, но ничего лучше не придумал.

[Someone]

kernel1983 в сообщении #1396379 писал(а):

Тоже подумал, что не очень хорошо упоминать неизвестное множество $M$, но ничего лучше не придумал.

Не то, чтобы нехорошо, а просто нельзя.

[kernel1983]

Ну, а собственно почему так нельзя определить?

[Someone]

kernel1983 в сообщении #1396410 писал(а):

почему так нельзя определить?

Потому что ваше определение имеет вид определения с параметром:

$$X=\{x:\Phi(x,M)\}.$$

Подставляя разные $M$, будем получать, вообще говоря, разные $X$. Вы почему-то хотите, чтобы выполнялось равенство $M=X$, то есть, Вы хотите определять $M$ через самого себя, то есть, через ещё не определённый объект. В зависимости от выбранной формулы $\Phi(x,M)$, может оказаться много разных $M$, при которых равенство выполняется, либо наоборот, оно не выполняется никогда. В итоге такие "определения", как правило, ничего не определяют. Поэтому они не считаются допустимыми.

[george66]

Когда множество определяется формулой $M=\{x\mid \varphi\}$, переменная $M$ не должна свободно входить в $\varphi$ (иначе множество будет определяться "само через себя" и быстро получатся противоречия). Не совсем понятно, что требуется. Как определить пустое множество "с кванторами"?

[kernel1983]

Спасибо за замечания. Обдумаю...

-- 29.05.2019, 23:22 --

Вопрос возник при доказательстве простейшего свойства $M \cap \overline{M} = \varnothing$. Имеем: $M \cap \overline{M} = \{ x \colon x \in M \wedge x \not \in M\}$. И как отсюда получить пустое множество? Если только принять, что $\varnothing = \{ x \colon x \in M \wedge x \not \in M\}$.

[george66]

Пустое множество определяется как множество, у которого нет элементов. Его можно определять как $\{x\mid \varphi\}$, где $\varphi$ какая угодно ложная формула. Например $\{x\mid x\neq x\}$. Но непонятно, чего нужно. Какое определение вы называете "кванторным"?

[kernel1983]

Тогда получается, что определение $\varnothing = \{ x \colon x \in M \wedge x \not \in M \}$ тоже подходит? Или вот: $\varnothing =\{ x \colon x \in \varnothing \wedge x \not \in \varnothing\}$?
Кванторное определение - это вот такое: $\varnothing =\{ x \colon \forall x (x \not \in \varnothing )\}$.

[arseniiv]

kernel1983 в сообщении #1396452 писал(а):

И как отсюда получить пустое множество?

Ну так $x\in y\wedge x\notin y$ на каких значениях $x, y$ истинна? Ни на каких. Прекрасно, перед нами свойство, не выполняющееся ни для одного $x$, и потому $\{x:\ldots\}$ — пустое.

Вообще же когда трудно разобраться с записью $\{x:\ldots\}$, она переводится так: $y\in\{x:\varphi\} \Leftrightarrow \varphi[y/x]$ ($\varphi$, где все свободные вхождения $x$ заменили на $y$; мнемонически палку / можно читать как «вместо»).

kernel1983 в сообщении #1396466 писал(а):

Кванторное определение - это вот такое: $\varnothing =\{ x \colon \forall x (x \not \in \varnothing )\}$.

Это неправильное определение, оно задаёт класс всех множеств, потому что $\forall x (x \not \in \varnothing )$ истинно притом независимо от $x$ (это замкнутая формула). «Кванторным» я бы наверно назвал как раз сам по себе этот кусок $\forall x.\;x\notin\varnothing$ (и вот он прямо говорит, что ничего не входит в $\varnothing$), ничего другого на ум не приходит. Ну можно длиннее: $\forall x.\;x\in\varnothing\Leftrightarrow\bot$, где $\bot$ любое противоречие (типа тех же $x\in y\wedge x\notin y$ или $x=x\wedge x\ne x$).

-- Чт май 30, 2019 01:49:19 --

arseniiv в сообщении #1396469 писал(а):

она переводится так

Для полноты конечно надо разобрать и формулы, где она слева и где она и слева и справа, и где $=$, а не $\in$. В Куратовском, Мостовском вроде есть скрупулёзное выписывание всех правил перевода, но для интуитивного понимания должно быть достаточно этой штуки.

[george66]

kernel1983 в сообщении #1396466 писал(а):

Тогда получается, что определение $\varnothing = \{ x \colon x \in M \wedge x \not \in M \}$ тоже подходит? Или вот: $\varnothing =\{ x \colon x \in \varnothing \wedge x \not \in \varnothing\}$?
Кванторное определение - это вот такое: $\varnothing =\{ x \colon \forall x (x \not \in \varnothing )\}$.

Первое определение подходит, но плохое (потому что в нём торчит параметр $M$, от которого ничего не зависит). Второе и третье вообще не годятся (нельзя определять множество само через себя)

-- 30.05.2019, 00:30 --

Кстати, $\{x\mid\forall x(x\not\in\emptyset)\}$ - это никак не пустое множество, потому что формула $\forall x(x\not\in\emptyset)$ истинна, а не ложна. Это как бы "множество всех элементов" (некоторые теории множеств такое допускают)

[arseniiv]

Можно говорить и о классе, не являющемся множеством. (Или о классе в NBG например.)

[george66]

Видимо, имеется в виду следующее: пустое множество - это такое множество $\emptyset$, что верно
$\forall x(x\not\in\emptyset)$
это условие его однозначно определяет.

[Someone]

kernel1983 в сообщении #1396466 писал(а):

$\varnothing =\{ x \colon \forall x (x \not \in \varnothing )\}$.

Вообще говоря, не рекомендуется использовать обозначение связанной переменной вне области действия квантора, так что терм справа от знака равенства следовало бы записать, например, так: $\{y:\forall x(x\notin\varnothing)\}$. Определяет это вовсе не пустое множество, а класс всех множеств, поскольку условие, записанное справа от двоеточия, истинно при любом $y$. Поэтому процитированное равенство ложно.