Добрый день!
Пусть дана такая функция в трехмерном пространстве, что её градиент непрерывен. Похоже, что вблизи точки экстремума можно выбрать такую замкнутую поверхность (что эта точка находится внутри области, ограниченной этой поверхностью), что поток градиента через эту поверхность не равен нулю.
Пытаясь доказать этот факт, я провожу через данную точку различные прямые, где я могу свести данную функцию к функции одной переменной с помощью параметризации. И тогда на этой прямой существует окрестность точки, где производные функции ''слева'' и ''справа'' от этой точки будут разных знаков. Хотелось бы проводить все возможные прямые, выбрать наименьшую такую окрестность и получить сферу, через которую поток градиента не равен нулю. Сталкиваюсь со случаем, когда инфимум множества
для окрестностей вида
равен нулю.
Не знаю, как подступиться к данной проблеме.
Заранее благодарю за помощь!