Зависимость скорость от времени с учетом силы сопротивления

[NEvOl]

Здравствуйте, пытаюсь решить такую задачу:
Материальную точку подняли на высоту $y_0$ и отпустили. Нужно найти зависимость скорости и координаты $y$ от времени с учетом действующей силы сопротивления по Ньютону.
Решаю задачу следующим образом:
Ввожу систему координат OXY (ось ОY направлена вертикально вверх, ось ОX направлена горизонтально на право). На падающую точку действует 2 силы: сила сопротивления по ньютону, и сила тяжести. Т.е. $\vec{F_\Sigma} = \vec{F_t} + \vec{F_n}$. Из 2го з.н. получаем $m\vec{a} = m\vec{g} + k|V|\vec{V}$. Найдем проекцию на ось ОY: т.к. сила тяжести действует вертикально вниз, то слагаемое $m\vec{g}$ входит со знаком минус, сила сопротивления действует вертикально вверх (против движения материальной точки) значит слагаемое $k|V|\vec{V}$ входит со знаком плюс, суммарная сила действует вертикально вниз (т.к. тело в итоге падает) значит и $m\vec{a}$ входит со знаком минус. В итоге получаю такое диф.ур. $-ma = -mg + kV^2$ или что тоже самое $ ma = mg - kV^2$.
Пользуясь тем что $ a = \dot{V}$ и т.к. $V(0) = 0$ получаю следующую зависимость:
$V(t) = \sqrt{\frac{mg}{k}} \frac{1-e^{2\sqrt{\frac{gk}{m}}t}}{1+e^{2\sqrt{\frac{gk}{m}}t}}$. В этом результате смущает то что $V(t) \leqslant 0$, но я так понимаю это из-за того что вектор скорости направлен вниз при падении материальной точки, и модуль скорости со временем будет расти как $|V(t)|$. Далее пользуясь тем что $\dot{y} = V$ и $y(0) = y_0$ получаю зависимость:
$y(t) = y_0 + \sqrt{\frac{mg}{k}}t - \frac{m}{k} ln \left( \frac{1+e^{2\sqrt{\frac{gk}{m}}t}}{2} \right)$.
Скажите пожалуйста, правильно ли я все понимаю, и верны ли мои выводы ?

[DimaM]

NEvOl в сообщении #1394506 писал(а):

Скажите пожалуйста, правильно ли я все понимаю, и верны ли мои выводы ?

Знак полученной скорости не соответствует дифференциальному уравнению. Чтобы не путаться со знаками, проще всего направить ось $y$ вниз, тогда скорость получится положительной, как и смещение по $y$.
Скорость у меня получается такой же (с точностью до знака).
В смещении под логарифмом выходит другое выражение, а именно

$$\ln\left(\frac{2e^{\alpha t}}{1+e^{\alpha t}}\right).$$

Здесь $\alpha=2\sqrt{gk/m}$.

[NEvOl]

DimaM в сообщении #1394525 писал(а):

Знак полученной скорости не соответствует дифференциальному уравнению.

Это значит ошибка в вычислениях ? Как вы это поняли ? какие знаки должны быть ?
Если ось ОУ направлена вниз то диф.ур. будет иметь вид: $ma = mg - kV^2$ ?

[DimaM]

NEvOl в сообщении #1394538 писал(а):

Если ось ОУ направлена вниз то диф.ур. будет иметь вид: $ma = mg - kV^2$ ?

Да.
В вашем выражении нужно будет поменять знак у скорости и пересчитать смещение (скорее всего, ошибка при подстановке пределов вылезла).

[NEvOl]

DimaM в сообщении #1394540 писал(а):

NEvOl в сообщении #1394538 писал(а):

Если ось ОУ направлена вниз то диф.ур. будет иметь вид: $ma = mg - kV^2$ ?

Да.
В вашем выражении нужно будет поменять знак у скорости и пересчитать смещение (скорее всего, ошибка при подстановке пределов вылезла).

Я не понял вас.
У меня в 1ом посте точно такое же было уравнение ведь.

NEvOl в сообщении #1394506 писал(а):

В итоге получаю такое диф.ур. $-ma = -mg + kV^2$ или что тоже самое $ ma = mg - kV^2$.

В чем разница тогда ?

[DimaM]

NEvOl в сообщении #1394554 писал(а):

У меня в 1ом посте точно такое же было уравнение ведь.

В результате решения этого уравнения должна получиться положительная скорость (если вначале была нулевая), а у вас отрицательная.
Вы уж определитесь с направлением оси: либо она вверх - тогда ускорение в первом дифуре с плюсом и скорость отрицательная, либо вниз - тогда второй дифур и скорость положительная.

[NEvOl]

если ось ОУ вверх, то я получаю такое ду: $-ma = -mg + kV^2$ где $a > 0$, и тут скорость будет как $V(t) \leqslant 0$, при этом модуль скорости изменяется как $\left | V(t) \right| $ верно ?

[EUgeneUS]

NEvOl в сообщении #1394506 писал(а):

Ввожу систему координат OXY (ось ОY направлена вертикально вверх, ось ОX направлена горизонтально на право).

Совершенно бесполезное (в данном случае) и странное занятие.
а) так как тело в момент $t=0$ (когда его отпускают) покоилось, то всякие ускорения, отличные от вертикальных, исключены. А значит задача одномерна.
б) А почему ось $OX$ направлена направо? А не, скажем, налево или вперед, или назад? И "направо" это куда?

Либо Вы вводите "честную" трехмерную систему координат, а потом так же честно доказываете, что движение происходит только вдоль одной оси.
Либо (что менее строго) сразу сводите задачу к одномерной рассуждениями, по типу приведенных выше.

-- 22.05.2019, 21:12 --

Вот это правильное уравнение:

NEvOl в сообщении #1394506 писал(а):

Из 2го з.н. получаем $m\vec{a} = m\vec{g} + k|V|\vec{V}$

А дальше вместо честных проекций на выбранную ось идет путаница со знаками.
Надо так:
Пусть ось OY направлена вверх, тогда в проекциях на неё
$m a_y = m (-g) + k|V|V_y$

Если ось OY' направлена вниз:
$m a_y = m g + k|V|V_y$

[EUgeneUS]

Опс. "Слона-то я и не приметил".

Вот это правильное уравнение:

NEvOl в сообщении #1394506 писал(а):

$\vec{F_\Sigma} = \vec{F_t} + \vec{F_n}$

А сила сопротивления будет равна $\vec{F_n} = - k |V|\vec{V}$.
Минус тут обозначает, что вектор силы сопротивления и вектор скорости антиколлинеарны (параллельны и противонаправлены).
Этот минус никак не зависит от выбранной системы отсчета\системы координат.

Тогда в векторном виде:
$m\vec{a} = m\vec{g} - k|V|\vec{V}$

В проекциях на любую ось $Ox$:
$m a_x = m g_x - k|V| V_x$