Найти предел интегралов

[novichok2018]

Найти предел

$$ \lim_{n\to\infty} \int_0^1 \int_0^1 \ldots\left(\frac{x_1^2+\cdots x_n^2}{n}\right)^m dx_1 \ldots dx_n, $$

$m$ --- натуральное число. Это задача из какого-то известного задачника?

Пытаюсь реализовать план решения, подсказанный уважаемым ShMaxG.

$$ \int_0^1 \int_0^1 \ldots\left(\frac{x_1^2+\cdots x_n^2}{n}\right)^m dx_1 \ldots dx_n= \frac{1}{n^m}\int_0^1 \int_0^1 \ldots \left(\sum x_{p_1}^2 x_{p_2}^2 \ldots x_{p_m}^2 \right)\ldots dx_n= $$

$$ \frac{1}{n^m} \sum \int_0^1x_{p_1}^2\,dx_{p_1}\ldots \int_0^1x_{p_m}^2\,dx_{p_m} 1^{n-m}= \frac{1}{n^m} \sum \left(\frac{1}{3}\right)^m. $$

Осталось определить число членов в сумме, раз в обычном биноме их $2^m$, то в мультибиноме должно быть $n^m$, тогда всё сокращается, получается правильный ответ $\left(\frac{1}{3}\right)^m$. Но есть сомнения - получается, что последовательность интегралов не зависит от их числа и всё время одна и та же, не похоже на правду. И написанное верно при $n>m$, конечно.

[feedinglight]

(Оффтоп)

напоминает статистику, соре если чушь несу

[novichok2018]

мне тоже кажется, что такие вещи часто считаются через теоремы тервера, но не могу подобрать нужную. Тривиальная оценка, что под интегралом среднее квадратичное меньше единицы, но больше геометрического - вроде не проходит, пределы не смыкаются, сверху получается единица, снизу предел с числом e.

[ShMaxG]

Я бы рассмотрел случайные величины $X_k$ из равномерного на $(0,1)$ непрерывного распределения. Тогда все эти интегралы -- это просто $\mathbb{E}\left( \overline{X^2} \right)^m$. Далее см. сходимость в $L_m$ и закон больших чисел.

[novichok2018]

ShMaxG
если можно, напишите чуть подробнее, пожалуйста. Для тупого. В какой формулировке ЗБЧ применяется? Какой получается ответ?

[ShMaxG]

novichok2018
Вам понадобятся:
1) Понятие о сходимости случайной последовательности в $L_m$.
2) Понятие о сходимости случайной последовательности по вероятности.
3) Закон больших чисел по Хинчину.
4) Свойства сходимости последовательностей в $L_m$:
а) Сходимость соответствующих моментов.
б) Связь со сходимостью по вероятности в обе стороны.

Ответ не вычислял, но на вскидку кажется, что всего вышенаписанного достаточно для решения задачи. Полное решение приложить по правилам не могу, увы.

[--mS--]

Ну ответ-то очевиден, $1/3^m$. А что за вопрос про формулировку ЗБЧ? Примените в любой. Последовательность сходится, ограничена, поэтому матожидания сходятся. Никакой сходимости в $L_m$ тут не надо, хватит $L_1$.

[novichok2018]

Почему такой предел? Из общей теоремы следует, к чему сходятся матожидания, или только что предел существует?
Эта задача имеет решение в рамках стандартного университетского курса матанализа?
Неожиданный вопрос: такой интеграл из n-штук нельзя посчитать явно, и потом перейти к пределу? Это не так безнадёжно, похожие интегралы есть в справочниках. Похожие, но не такой.

[ShMaxG]

novichok2018
Ну а от чего же не имеет? В матанализе интегралы есть, пределы есть. В конце-концов можно же возвести выражение в степень $m$, и тупо взять интегралы по школьным формулам.

[novichok2018]

Из мультибинома получится длинное выражение, а потом ещё предел брать.
Можно попробовать оценить сверху/снизу интегралами по шарам, вписанным и описанным для куба. Такие интегралы легко считаются, только не похоже, что эти оценки сомкнутся.

[ShMaxG]

novichok2018 в сообщении #1394536 писал(а):

Из мультибинома получится длинное выражение, а потом ещё предел брать.

Там все гораздо проще Никаких мультибиномов, длинных выражений, и предел вычисляется тривиально.

[novichok2018]

Не понимаю как тогда сумму в степень возвести, извините.

[ShMaxG]

Вот, смотрите:

$$(x_1+x_2)^2 = x_1 x_1 + x_1 x_2 + x_2 x_1 + x_2 x_2$$

$$(x_1+x_2+x_3)^2 = x_1 x_1 + x_1 x_2 + \dots + x_3 x_2 + x_3 x_3$$

Как видите, приводить подобные слагаемые не нужно, необходимость во всех этих биномиальных коэффициентах отсутствует. Вот и раскройте скобку в соответствии с такой логикой, а потом возьмите интеграл. Ну и посчитайте, сколько слагаемых возникает при раскрытии $m$ степени от скобки с $n$ слагаемыми.

[Markiyan Hirnyk]

--mS--

Цитата:

Ну ответ-то очевиден, $1/3^m$

Увы, вычисления не подтверждают это при $m>1.$

[novichok2018]

там нужна степень m, а не 2. И стоит сумма квадратов а не квадрат суммы. Для функции от суммы такой интеграл есть в справочниках в общем виде по кубу, от суммы квадратов-только по шару, что понятно.
Мне нужна помощь в решении этой задачи, а не учиться. Учился я 40 лет назад, но эту решать не умею, что поделать. Много чего не знаю и не умею. Здесь нужно понять как делать и с чего начать, чтобы помочь коллеге. С тервером я понял , но мне это трудно, не моя область совсем. Если можно получить явную формулу - нужно понять, что в начале применить Это же не полное решение, да и ограничение это актуально для тех кто учится, а не для стариков.