2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сколько кванторов вы можете удержать в голове?
Сообщение21.05.2019, 21:02 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
Самые сложные определения, которые я встречал, содержали четыре квантора типа $\forall\; \exists\; \forall\; \exists$. Оба эти определения, я встретил в книге Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Вот они:
Свойство системы окрестностей точек в топологическом пространстве
Изображение
Определение поднаправленности
Изображение

Оба эти определения я довольно долго осознавал, но все-таки в итоге в голове их удалось поместить. И это с учетом того, что я с материалом был знаком. Таким образом, я могу сказать, что определение с четырьмя кванторами - это мой потолок. Обычное определение предела функции на языке $\varepsilon-\delta$ использует три квантора.

Есть общий способ уменьшать количество кванторов в утверждениях -- "функция Сколема", из логики. Например, определение предела $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A$ с тремя кванторами
$$\forall\varepsilon>0\; \exists\delta>0 : \forall x\; 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$$
сокращается до $$\forall \varepsilon>0\; \forall x\; 0<|x-x_0|<\delta(\varepsilon)\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$$
Тут два квантор. Если мы перед этим поставим еще фразу $\exists$ функция $\delta(\varepsilon)$, то будет три квантора. Но утверждение про существование функции обособлено от основного утверждения, поэтому в целом определение становится проще воспринять.

Определение поднаправленности, которое я встречал в других книжках (Келли Дж. Общая топология, например) тоже использует этот приём. Направленность $\{y_\beta\}_{\beta\in B}$ называется поднаправленностью направленности $\{x_\alpha\}_{\alpha\in A}$ если существует функция $\varphi\colon B\to A$ такая, что 1) для любого $\alpha\in A$ существует $\beta\in B$ такое, что для любого $\beta'\geqslant\beta$ выполнено $\varphi(\beta')\geqslant\alpha$ и 2) $y_{\beta'}=x_{\varphi(\beta')}$.
То, что Канторович (или Акилов) предпочел определение без использования функции Сколема говорит о том, что он, видимо, мог удержать в голове очень много кванторов одновременно, и не нуждался в подобных костылях.
А какие вы встречали самые сложные определения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько кванторов вы можете удержать в голове?
Сообщение21.05.2019, 22:13 
Заслуженный участник


18/01/15
1759
Да не парьтесь. Если есть реальная необходимость, наверное и пять и шесть можно в голову уложить. Я, правда, примера с пятью не знаю. Может, его и нет. А определение топологии через системы окрестностей --- оно и правда не простое, я тоже долго въезжал. Еще вспоминаю такую многоступенчатую конструкцию, которую точно не помню, как пространство ультрафильтров данного множества. Ультрафильтр --- это система подмножеств с весьма специальными свойствами (Вы, наверное, знаете). Так вот, на множестве ультрафильтров (данного множества) можно некоторым способом ввести топологию, относительно которой оно становится компактным пространством (емнип). Т.е. получается специальная система подмножеств в множестве систем подмножеств данного множества, обладающих некоторыми специальными свойствами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько кванторов вы можете удержать в голове?
Сообщение21.05.2019, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Про предел. Если вытащить $\exists\delta(\varepsilon)$ из конструкции, то не появится ли ощущение того, что функция $\delta(\varepsilon)$ не зависит от $f$ и $x_0$, и понимание сути понятия предела затруднится :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько кванторов вы можете удержать в голове?
Сообщение21.05.2019, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3660
Москва
В каких-то совсем фундаментальных моментах разница между "для любого $x$ существует $y$" и "существует функция, которая из $x$ делает $y$", может быть существенной. Собственно в том числе аксиома выбора ровно про эту разницу.

"Эффективное число кванторов" зависит от того, какие концепции удается удержать в голове. Например в дифгеме мне так и не удалось получить интуицию про касательное пространство, поэтому везде приходилось подставлять его определение. Что, естественно, раздувало формулы невообразимо.

Для простых случаев (когда объектов много, но они примерно однородные) мне оказывается проще думать аналогично в терминах, аналогичных игре Эренфойхта - заменять квантор всеобщности на "нам принесли $x$" а квантор существования на "мы должны найти $y$". Ничего в общем-то не меняется, но мне почему-то так думается легче.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group