Примеры сигма-алгебры из учебника Черновой

[onami]

Здравствуйте!

Помогите разобрать пассаж из учебника Черновой. Дав понятие сигма-алгебры, она в том числе приводит такой пример алгебры, НЕ являющийся сигма-алгеброй ((https://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node9.html).

Цитата:

Пусть $\Omega=\mathbb{R}$, и пусть $\mathcal{A}$ — множество, содержащее любые конечные подмножества $\mathbb{R}$.

Далее она замечает, что «алгебра $\mathcal{A}$ не содержит ни одного счетного множества точек. Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество». Окей, с этим понятно. Но далее идет ремарка «Все алгебры из примера 11 являются $\sigma$-алгебрами, поскольку содержат лишь конечное число элементов. Вообще, на конечном множестве понятия алгебры и $\sigma$-алгебры совпадают».

Что вызвало вопросы:
1. Допустим, алгебры из примера 11 являются сигма-алгебрами, причем тут конечное число элементов в них?
2. И что случилось с утверждением "объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество", ведь оно служило основанием не считать сигма-алгеброй множество, содержащее любые конечные подмножества?
3. Почему "понятия алгебры и сигма-алгебры" на конечном множестве совпадают?

[Anton_Peplov]

onami в сообщении #1394060 писал(а):

Почему "понятия алгебры и сигма-алгебры" на конечном множестве совпадают?

Вот множество $\{\varnothing, \{1\}\}$. Проверьте, является ли оно:
1) алгеброй 2)сигма-алгеброй.

[Someone]

onami в сообщении #1394060 писал(а):

что случилось с утверждением "объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество", ведь оно служило основанием не считать сигма-алгеброй множество, содержащее любые конечные подмножества?

Допустим, у нас есть бесконечное множество. По какой причине семейство всех конечных подмножеств этого множества не является $\sigma$-алгеброй?

[onami]

Anton_Peplov в сообщении #1394064 писал(а):

onami в сообщении #1394060 писал(а):

Почему "понятия алгебры и сигма-алгебры" на конечном множестве совпадают?

Вот множество $\{\varnothing, \{1\}\}$. Проверьте, является ли оно:
1) алгеброй 2)сигма-алгеброй.

Множество является алгеброй.

$\Omega=\{\varnothing, \{1\}\}
$\varnothing\cup\{1\}\in \Omega$
$\Omega\backslash\varnothing = \{1\}\in\Omega$
$\Omega\backslash\{1\} = \varnothing\in\Omega$

Насчет принадлежности к сигма-алгебре не уверен.

[--mS--]

onami в сообщении #1394118 писал(а):

$\Omega=\{\varnothing, \{1\}\}

Конечно, нет. $\Omega=\{1\}$.

onami в сообщении #1394118 писал(а):

$\varnothing\cup\{1\}\in \Omega$
$\Omega\backslash\varnothing = \{1\}\in\Omega$
$\Omega\backslash\{1\} = \varnothing\in\Omega$

Что-то странное Вы проверяете. Разве в учебнике нет определения алгебры? Проверим, что $\mathcal A = \{\varnothing, \{1\}\}$ - алгебра.
Свойство 1: $\Omega =\{1\} \in \mathcal A=\{\varnothing, {\color{red}\{1\}}\}$ - выполнено.
Свойство 2: Дополнение к каждому событию из алгебры лежит в алгебре:

$$ \overline{\Omega} =\varnothing \in \mathcal A=\{{\color{red}\varnothing}, \{1\}\}, \quad \overline \varnothing=\Omega =\{1\} \in \mathcal A=\{\varnothing, {\color{red}\{1\}}\}. $$

Свойство 3: Объединение любых двух событий из алгебры снова лежит в алгебре:

Пусть $A=\Omega$, $B=\Omega$. Тогда $A\cup B=\Omega \in\mathcal A$.

Пусть $A=\Omega$, $B=\varnothing$. Тогда $A\cup B=\Omega \in\mathcal A$.

Пусть $A=\varnothing$, $B=\Omega$. Тогда $A\cup B=\Omega \in\mathcal A$.

Пусть $A=\varnothing$, $B=\varnothing$. Тогда $A\cup B=\varnothing \in\mathcal A$.

Все аксиомы выполнены, следовательно, $\mathcal A$ - алгебра.

Сможете теперь проверить, что это множество $\mathcal A$ является и сигма-алгеброй? В процессе проверки все вопросы должны отпасть сами собой.

[VanD]

Замените в определении сигма-алгебры слово "счётным" на "конечным" и подумайте, не получится ли определение алгебры?

Ну и помните, что объединение -- это не процесс, там нет динамики, как в определении того же предела. Там сразу результат. Поэтому для объединения не важно, что в случае счётного числа объединяемых "процесс-то дольше", чем в случае конечного числа. Процесса ни там ни там вообще нет.

[onami]

--mS-- в сообщении #1394158 писал(а):

Конечно, нет. $\Omega=\{1\}$.

Почему в омеге не может быть пустого множества? Вообще, что это за сущность?

--mS-- в сообщении #1394158 писал(а):

Что-то странное Вы проверяете. Разве в учебнике нет определения алгебры?

Я делал по определению (я давал ссылку в первом посте)

- алгебра событий содержит достоверное событие
- вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие. (Противоположное в этом случае то же самое, что и дополнение. $\Omega\backslash\varnothing = \{1\}\in\Omega$, $\Omega\backslash\{1\} = \varnothing\in\Omega$). У вас по сути то же самое написано.
- вместе с любыми двумя событиями алгебра содержит их объединение ($\varnothing\cup\{1\}\in \Omega$)

--mS-- в сообщении #1394158 писал(а):

Сможете теперь проверить, что это множество $\mathcal A$ является и сигма-алгеброй? В процессе проверки все вопросы должны отпасть сами собой.

Не понимаю, чем отличается третье свойство алгебры от сигма-алгебры.

Чернова пишет:

Цитата:

В теории вероятностей часто возникает необходимость объединять счётные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счётной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумно наложить более суровые ограничения на класс событий.

Не понятно, почему "не вытекает"

Если для сигма-алгебры выполняется условие: $A_{1}, $A_{2}, ... $A_{n}\in\mathcal A \iff A_{1}\cup A_{2}\cup... A_{n}\in\mathcal A$, почему его нельзя переписать как
$A = A_{1}, B = A_{2}\cup... A_{n}\in\mathcal A$
$A\cup B\in\mathcal A$
и получить ровно такое же свойство, как у "обычной" алгебры?

Хотел еще уточнить: под "счетными наборами", "счетными последовательностями" имеются в виду перечислимые множества?

[--mS--]

onami в сообщении #1394234 писал(а):

Почему в омеге не может быть пустого множества? Вообще, что это за сущность?

Где написано, что в омеге не может быть пустого множества? Омега - базовое множество, подмножества которого суть элементы всяких там алгебр и сигма-алгебр.

Вам предложили проверить, является ли алгеброй некий набор множеств. Множество $\Omega$ при этом коллега не указал. Вы же почему-то решили объявить омегой то, что должно быть алгеброй на множестве $\Omega$. Так вот, $\Omega$ в данном случае - это $\{1\}$ и ничего иного.

onami в сообщении #1394234 писал(а):

- вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие. (Противоположное в этом случае то же самое, что и дополнение. $\Omega\backslash\varnothing = \{1\}{\color{red}\in\Omega}$, $\Omega\backslash\{1\} = \varnothing{\color{red}\in\Omega}$). У вас по сути то же самое написано.

Где в определении требуется невозможное: чтобы омега принадлежала себе самому? Есть всё же разница между "принадлежать омега" и "принадлежать алгебре подмножеств омега".

[onami]

--mS-- в сообщении #1394239 писал(а):

Так вот, $\Omega$ в данном случае - это $\{1\}$ и ничего иного.

Что изменится, если $\Omega=\{\varnothing, \{1\}\}$? Не понимаю, почему вы решили, что $\Omega=\{1\}$, а не, положим, $\Omega=\{\varnothing\}$.

[Anton_Peplov]

$\Omega$ - это множество, подмножества которого являются элементами алгебры.

Кажется, у Вас стандартная для новичка путаница между понятиями "элемент принадлежит множеству $M$" и "подмножество включается в множество $M$".

Забудьте пока об алгебрах и выполните следующее упражнение. Пусть $M = \{1, 2\}$. Перечислите:
1) все элементы множества $M$
2) все подмножества множества $M$
3) все множества, элементами которых являются какие-нибудь подмножества множества $M$ и только они.

[Anton_Peplov]

onami в сообщении #1394234 писал(а):

Хотел еще уточнить: под "счетными наборами", "счетными последовательностями" имеются в виду перечислимые множества?

Перечислимость - это свойство из теории алгоритмов, не нужное нигде, кроме теории алгоритмов. Путать его со счётностью не надо.

Обычно под "счётными наборами" понимаются таки счётные множества. Термин "счётная последовательность" звучит как "масло масляное". Вы это поймёте, если вспомните определение последовательности.

[arseniiv]

onami в сообщении #1394246 писал(а):

Не понимаю, почему вы решили, что $\Omega=\{1\}$, а не, положим, $\Omega=\{\varnothing\}$.

Исходный вопрос был, является ли (сигма-)алгеброй $\{\varnothing,\{1\}\}$. Так как элементы (сигма-)алгебры должны все быть подмножествами $\Omega$, и притом $\Omega$ тоже должно быть элементом этой алгебры, не остаётся никакого выбора кроме $\Omega = \{1\}$. Вообще конечно Anton_Peplov для большей аккуратности, наверно, стоило сразу назвать $\Omega$, но в данном случае ошибиться невозможно.

[--mS--]

onami в сообщении #1394246 писал(а):

Что изменится, если $\Omega=\{\varnothing, \{1\}\}$?

Многое. Например, тривиальная алгебра будет в этом случае $\bigl\{ \varnothing,\, \{\varnothing, \{1\}\}\bigr\}$. А алгебра чуть побогаче (множество всех подмножеств) - это

$$ \bigl\{ \varnothing,\, \{\varnothing, \{1\}\}, \, \{\{1\}\},\,\{\varnothing\}\bigr\}. $$

Так Вы будете проверять, что $\{\varnothing, \{1\}\}$ - сигма-алгебра, или вопрос снят?

-- Вт май 21, 2019 09:07:28 --

onami в сообщении #1394234 писал(а):

Не понимаю, чем отличается третье свойство алгебры от сигма-алгебры.

В третьем свойстве алгебры требуется, чтобы объединение двух (а значит, трёх, четырёх, пяти, любого конечного числа) множеств из алгебры снова было элементом алгебры. В третьем свойстве сигма-алгебры требуется, чтобы объединение бесконечного (но счётного) числа множеств было элементом сигма-алгебры. Пример, который Вы цитировали, показывает разницу. Любые конечные объединения конечных множеств снова суть конечные множества, и лежат в описанной в примере алгебре. Но бесконечное объединение (например, натуральный ряд) там не лежит.

[onami]

Anton_Peplov в сообщении #1394247 писал(а):

Забудьте пока об алгебрах и выполните следующее упражнение. Пусть $M = \{1, 2\}$. Перечислите:
1) все элементы множества $M$
2) все подмножества множества $M$
3) все множества, элементами которых являются какие-нибудь подмножества множества $M$ и только они.

1. $1, 2$
2. $\{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \varnothing $
3. $\{\{1\}\},\{\{2\}\},\{\{1, 2\}\},\{\{1\}, \{2\}\},\{\{1\}, \{1, 2\}\},\{\{2\}, \{1, 2\}\}$

--mS-- в сообщении #1394305 писал(а):

Так Вы будете проверять, что $\{\varnothing, \{1\}\}$ - сигма-алгебра, или вопрос снят?

Для конечного множества понятие алгебры и сигма-алгебры совпадает, так что вопрос снят.

[arseniiv]

onami в сообщении #1394392 писал(а):

1. $1, 2$
2. $\{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \varnothing $
3. $\{\{1\}\},\{\{2\}\},\{\{1, 2\}\},\{\{1\}, \{2\}\},\{\{1\}, \{1, 2\}\},\{\{2\}, \{1, 2\}\}$

1, 2 верно, а в 3 перечислены не все.