Функция винеровского процесса

[Otta]

Братцы, заклинило меня.
Вот смотрите, есть у нас винеровский процесс $\xi(t)$.
$\sigma = 1$, то есть при каждом фиксированном $t$ распределение нормально с параметрами $(0,t)$.

И пусть $X(t)=\sin \xi(t)$.
Нетрудно видеть, что $MX(t)\equiv 0$. Тогда автокорреляционная функция $K(t,s)=MX(t)X(s)=\ldots$
а дальше я как-то теряюсь. Характеристическую функцию, может, посчитать? Какой цивилизованный путь?

[--mS--]

Формула для произведения синусов, там вылезет косинус приращения $\xi(t)-\xi(s)\sim N_{0,t-s}$ ($t>s$) и косинус суммы. Сумма $\xi(t)+\xi(s)=2\xi(s)+(\xi(t)-\xi(s))\sim N_{0,t+3s}$.
Ну а матожидания косинусов можно через х.ф. нормального: для $\eta\sim N_{0,t-s}$

$$ \mathsf E\cos \eta = \varphi_\eta(1) = e^{-(t-s)^2/2}. $$

[Otta]

--mS-- в сообщении #1393575 писал(а):

$$ \mathsf E\cos \eta = \varphi_\eta(1) = e^{-(t-s)^2/2}. $$

Спасибо, переварила наконец. Только, наверное, в конце квадрата нет? я поняла, что $t$ - это дисперсия, а не ско.
(Остальное и так было понятно, главный затык был здесь.)
И еще: это рассуждение годится для синуса, для косинуса... а в общем случае что-то можно делать?

[--mS--]

Ну да, естественно, квадрата нет. В общем случае - это с произвольной функцией? Только брать плотность совместного распределения двух точек процесса и двойной интеграл.

[Otta]

--mS-- в сообщении #1393942 писал(а):

Ну да, естественно, квадрата нет. В общем случае - это с произвольной функцией? Только брать плотность совместного распределения двух точек процесса и двойной интеграл.

Ох.

[--mS--]

А вот плотность совместного распределения, только в нескольких точках post1387394.html#p1387394

[Otta]

Да не, это я умею. Я представила себе, что будет, если умножить сей агрегат на какой-нибудь (утрирую) арктангенс, вернее, на их произведение, а потом еще попытаться проинтегрировать.

Мне тут подсказывают из кустов про изометрическую формулу Ито, но поле не мое, надо еще разобраться, как ее к делу присобачить.