Задача об области определения функции

[Mentat]

Возник вопрос: корректны ли вообще задачи вида "найдите область определения функции такой-то"? В обычной школе такие задачи дают постоянно, но на первом же курсе университета всё переигрывают в таком ключе:
Функция должна иметь область определения, область значения, и правило, которое ставит в соответствие элементу из ОО - элемент из ОЗ. То есть задавая функцию, мы должны прямо указывать ОО для неё. И, скажем, можем взять любую особенную точку из ОО, и доопределить там функцию новым правилом. Или же наоборот - исключить эту точку из ОО, оставив то же правило. И это всё равно будет функцией. В задачах из тестов же, предлагают только правило соответствия, и предлагают угадать ОО для функции, которая не определена полностью.
И возникает вопрос: к примеру, Вася учится в лицее, он знает об этом больше школьника (на уровне первого курса как раз), и пишет в тесте диапазон [1, 2], потому что определив функцию с такой ОО и с заданным правилом, он получит вполне правильную, хорошую функцию. И будет стратегически прав, экономя время для других заданий. С другой стороны, тест будет предполагать, что нужно искать все возможные диапазоны значений из вообще R, которые допустимо включать в ОО при таком правиле. И тогда, получается, автоматика ему задачу не засчитает, хотя математику он понимает лучше. И если, скажем, внешнее тестирование предлагает одинаковые задания для выпускников как обычных школ, так и лицеев - оно ставит их в неравное положение, так как они понимают постановку задачи по разному.
Тут уже второй вопрос - стоит ли вообще отказаться от таких задач в тестировании выпускников, в частности - в случае с задачами "найти область определения"?

[arseniiv]

Mentat в сообщении #1393615 писал(а):

Возник вопрос: корректны ли вообще задачи вида "найдите область определения функции такой-то"?

«Найдите естественную область определения функции, задаваемой выражением» — корректно, если только туда не входят какие-нибудь степени с рациональным показателем или корни, для которых заранее не условились, какая область определения у них и есть ли там отличия.

Естественная область определения очень просто находится, по буквально единственному правилу: $\operatorname{dom}(f\circ g) = g^{-1}(\operatorname{dom}f)$. Случай многих переменных сюда включается; надо считать, что $\operatorname{dom}\;(g_1,\ldots,g_n) = \operatorname{dom} g_1 \cap\ldots\cap \operatorname{dom} g_n$. Для арифметических операций и основных элементарных функций области определения известны — и всё прекрасно.

Правда на практике людьми такие правила не используются в явном виде, они уже как-то интернализованы и применяются по наитию.

Так как функции выражениями на практике часто задаются, и бывает не нужно специально сужать естественную область определения, полезно убедиться, что человек умеет её найти, когда она может быть определена.

[warlock66613]

Mentat в сообщении #1393615 писал(а):

Функция должна иметь область определения, область значения, и правило, которое ставит в соответствие элементу из ОО - элемент из ОЗ.

Обычно кодомен не называют областью значения (значений), нет?

[arseniiv]

Кажется, тут есть неутихший до сих пор разнобой, но я решил говорить «образ» $\operatorname{im}f$ для $f(\operatorname{dom}f)$ и «область значений» для кодомена. А то несимметрично с областью определения получается.