Об неоднозначности потенциальной энергии

[misha.physics]

Здравствуйте. Хотелось бы прояснить для себя следующий вопрос. Буду использовать более школьный подход.

Пусть тело $m$ свободно падает в постоянном поле тяжести напряженности $\vec{g}$ Земли с высоты $h_1$ до высоты $h_2$ (ось $h$ направляем вверх). Работы силы тяжести равна $A_{12}=mgh_1-mgh_2=-(U_2-U_1)$, где $U=mgh$ - потенциальная энергия тела $m$ в данном поле. Так как нас интересует изменение потенциальной энергии, то мы можем совершить переход $U\to U-U_0$, где $U_0=mgh_0$, тогда $U(h=h_0)=0$. На работу $A_{12}$ такой переход не влияет. Но с другой стороны, то же самое получится если просто выбрать другое начало отсчёта $h=0$ на оси $h$. Т.е. совершить переход $h\to h-h_0$. Понятно, что так можно сделать из-за линейного вхождения $h$ в $U$. Но я не до конца разделяю в своем понимания эти два перехода. В этом случае и там и там получается, что $h=h_0$ это значения высоты, на которой $U=0$.

Закрепим пружину так, что положение равновесия груза совпадает с $x=0$. Пусть теперь пружина свободно распрямляясь перемещает груз из координаты $x_1$ в координату $x_2$, совершает работу $A_{12}=\frac{kx_1^2}{2}-\frac{kx_2^2}{2}=-(U_2-U_1)$, где $U=\frac{kx^2}{2}$. Переход $U\to U-U_0$, где $U_0=\frac{kx_0^2}{2}$ сответствует тому, что $U(x=x_0)=0$ и работу $A_{12}$ не изменяет. Понятно, что переход $x\to x-x_0$ в формуле для $U=\frac{kx^2}{2}$ будет неправомерен, так как это выражение мы получили из закона Гука $F_x=-kx$, и значению $x=0$ соответствует значение равновесия (отсутствие силы).

Но в чем тогда смысл перехода $U\to U-U_0$ в случае с пружиной? В случае с тяготением, понятно, нет никакой выделеной точки $h$ и там переход $U\to U-U_0$ можно интерпретировать как просто изменение положения координаты $h$ на соответствующей оси, соответствующей нулевой потенциальной энергии.

Графически я пониманию различие переходов для $U$ и $h$ для пружинки (это потому что график зависимости проекции силы на перемещение от перемещения не есть горизонтальной линией, как в случае с $mg$), но что-то я путаюсь в попытке разложить это всё по полочкам.

-- 16 май 2019, 22:35 --

Ещё есть догадка, что переход для $U$ для пружинки означает, что мы закрепили последнюю так, что её положению равновесия соответствует $x=x_0$.

-- 16 май 2019, 22:37 --

Но если мы сделаем переход для $x$, то уже для силы в законе Гука положению равновесия будет соответствовать $x=x_0$.

[wrest]

Потенциальное поле не обязано быть однородным. Может, в этом загвоздка?

[misha.physics]

wrest, понимаю, "поле пружинки" неоднородно в отличие от гравитационного (в данном случае).

-- 16 май 2019, 22:46 --

misha.physics в сообщении #1393497 писал(а):

Но если мы сделаем переход для $x$, то уже для силы в законе Гука положению равновесия будет соответствовать $x=x_0$.

Ой, это я поторопился, это правильно, но и так понятно, если мы это проинтегрируем или подсчитаем площадь, то получим все правильно, как если бы сделали переход для $U$.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1393497 писал(а):

Но я не до конца разделяю в своем понимания эти два перехода.

А надо разделять. Переход с добавкой к энергии - позволяет больше вариантов, чем переход с выбором другой точки нулевой энергии.

Кроме того, именно он потом обобщается на калибровочную теорию, скажем, электромагнитного поля. (А потом и всех остальных.)

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1393497 писал(а):

Но в чем тогда смысл перехода $U\to U-U_0$ в случае с пружиной?

Придумайте эксперимент, отличающий первый случай от второго.

[Munin]

wrest в сообщении #1393503 писал(а):

Потенциальное поле не обязано быть однородным. Может, в этом загвоздка?

Смысл не в неоднородности. Смысл в образе отображения $x\mapsto U(x).$

[pogulyat_vyshel]

А непонятно, что непонятно. Потенциальная энергия по определению задается равенством

$$\boldsymbol F=-\mathrm{grad}\, U$$

Это равенство инвариантно, от выбора систем координат не зависитОчевидно, она определена с точностью до добавления константы потому, что $\mathrm{grad}(const)=0$.

(Оффтоп)

Куда веселее когда потенциальная энергия оказывается многозначной функцией на конфигурационном пространстве (дифференциальная форма $Q_idq^i$ замкнута , но не точна)

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):

Куда веселее когда потенциальная энергия оказывается многозначной функцией на конфигурационном пространстве

И когда же это? Получается, что тогда можно сделать вечный двигатель.

[Pphantom]

pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):

Потенциальная энергия по определению задается равенством

$$\boldsymbol F=-\mathrm{grad}\, U$$

pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):

Куда веселее когда потенциальная энергия оказывается многозначной функцией на конфигурационном пространстве (дифференциальная форма $Q_idq^i$ замкнута , но не точна)

В физике потенциальную энергию принято определять только для консервативных сил (как вариант, если хочется вводить силу через потенциальную энергию - с явным запретом упомянутой выше многозначности). Поскольку раздел все-таки физический и ТС, по-видимому, интересует именно физика, давайте будем это учитывать.

[EUgeneUS]

misha.physics

Первично вот это:

pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):

$$\boldsymbol F=-\mathrm{grad}\, U$$

pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):

$\mathrm{grad}(const)=0$

То есть можем произвольно выбрать уровень, который считать нулем потенциальной энергии.
А как это происходит для потенциалов различного вида - вторично.

1. если $U(x) = \alpha x + \operatorname{const}$
то для любого нулевого уровня (для любой $\operatorname{const}$) найдется ровно один $x_0$, при котором $U(x_0)=0$

2. если $U(x) = -\frac{\alpha}{x} + \operatorname{const}$,
то не для любой $\operatorname{const}$ найдется ровно один $x_0$, при котором $U(x_0)=0$, а только для положительных (выделенный случай: $\operatorname{const} = 0$, $x_0 = \infty$)
для отрицательных не найдется ни одного

3. если $U(x) = \alpha x^2 + \operatorname{const}$,
то в зависимости от $\operatorname{const}$ найдется один, два или ни одного $x$, при котором $U=0$

И ничего в этом страшного или странного нет.

[misha.physics]

realeugene,

realeugene в сообщении #1393539 писал(а):

Придумайте эксперимент, отличающий первый случай от второго.

Придумал. Закрепим пружину так, что положению равновесия соответствует $x=0$, тогда $F_x=-kx$, $U=\frac{kx^2}{2}$, и переход $x\to x-x_0$ означает, что теперь $F_x=-k(x-x_0)$, т.е. $x=x_0$ - координата нового положения равновесия, значит переход $x\to x-x_0$ означает, что мы перезакрепляем пружину в новом месте.

Совершим переход $U\to U-U_0=\frac{kx^2}{2}-\frac{kx_0^2}{2}$, сила $F_x=-\frac{dU}{dx}=-kx$ не изменяется, т.е. пружину в новое место не переносим (в смысле её точку закрепления), но теперь у нас $U=0$ при $x=x_0$, а не при $x=0$ как раньше.

Наверное в случае с пружинкой мне думалось, что если в какой-то точке $x$ сила $F_x$ равна нулю, то в ней будет равна нулю и $U$. Хотя понятен бред, ведь в случае с $mgh$ сила ни в одной точке не равна нулю (она постоянна), но выбор нулевого уровня для $U$ мы делаем именно переходом для $U$, а не для $h$, просто здесь они совпадают.

Munin,

Munin в сообщении #1393525 писал(а):

А надо разделять. Переход с добавкой к энергии - позволяет больше вариантов, чем переход с выбором другой точки нулевой энергии.

А разве это не одно и то же? Ведь переход с добавкой к энергии это переход $U\to U-U_0$, а переход с выбором другой точки нулевой энергии это ведь тоже переход $U\to U-U_0$. Или в другом случае вы имели ввиду переход для $h$, но они совпадают или я что-то не так понял...

pogulyat_vyshel,

pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):

Это равенство инвариантно, от выбора систем координат не зависитОчевидно, она определена с точностью до добавления константы потому, что $\mathrm{grad}(const)=0$.

Я запутался. С одной стороны это равенство инвариантно относительно прибавления константы к $U$. С другой стороны оно не зависит от выбора системы координат. Под вторым я понимаю прибавления константы к $x$... С другой стороны, понимаю, что векторное равенство не зависит от системы координат...

EUgeneUS,

EUgeneUS в сообщении #1393600 писал(а):

Первично вот это:

pogulyat_vyshel в сообщении #1393577

писал(а):

$$\boldsymbol F=-\mathrm{grad}\, U$$

EUgeneUS в сообщении #1393600 писал(а):

То есть можем произвольно выбрать уровень, который считать нулем потенциальной энергии.
А как это происходит для потенциалов различного вида - вторично.

О, это мне как раз и помогло сформулировать начальные абзацы этого сообщения.

EUgeneUS в сообщении #1393600 писал(а):

2. если $U(x) = -\frac{\alpha}{x} + \operatorname{const}$,
то не для любой $\operatorname{const}$ найдется ровно один $x_0$, при котором $U(x_0)=0$, а только для положительных (выделенный случай: $\operatorname{const} = 0$, $x_0 = \infty$)
для отрицательных не найдется ни одного

Здесь под $x$ имеется ввиду расстояние, как, например, в гравитационном или электростатическом потенциале, да?

Спасибо всем!

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1393624 писал(а):

Придумал.

Не вижу описания эксперимента.

[EUgeneUS]

misha.physics в сообщении #1393624 писал(а):

Munin в сообщении #1393525

писал(а):
А надо разделять. Переход с добавкой к энергии - позволяет больше вариантов, чем переход с выбором другой точки нулевой энергии.

А разве это не одно и то же? Ведь переход с добавкой к энергии это переход $U\to U-U_0$, а переход с выбором другой точки нулевой энергии это ведь тоже переход $U\to U-U_0$. Или в другом случае вы имели ввиду переход для $h$, но они совпадают или я что-то не так понял...

Не одно и то же.
Как видно на примерах, (иногда) мы можем выбрать нулевой уровень $U$ так, что ему не будет соответствовать ни одна точка.
На той же пружинке:
обозначим точку равновесия $x_0$
выберем константу в $U$ следующим образом: $U(x) = k(x-x_0)^2 + m_e c^2$,
уравнение $U(x) = k(x-x_0)^2 + m_e c^2 = 0$ не имеет действительных корней,
а значит нет никакого $x$, где бы $U(x)=0$

[misha.physics]

EUgeneUS, а, понял, т.е. просто прибавить постоянную к $U$ это одно, а прибавить такую постоянную чтобы существовала хотя бы одна точка пространства в которой $U=0$ это другое. Понятно, что второй случай частичный от первого.

[misha.physics]

realeugene, т.е. описать эксперимент, который будет отражать переход $U\to U-U_0$? Т.е эксперимент отличающий $U$ от $U-U_0$? Затрудняюсь, на эксперименте мы можем измерить разность потенциальных энергий. Или я неправильно понял задачу?