2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Характеристические классы
Сообщение14.05.2019, 00:55 


09/12/16
146
На лекции полный класс Чженя для $U(n)$ определялся так:
$c(F)=\det(E+\frac{iF}{2\pi})=c_0(F)+c_1(F)+...+c_n(F)$,
где $F$ - матрица кривизны, $c_i$ - элементарный симметрический многочлен, и назывался $i$-м классом Чженя.
Аналогично для $SO(2k+1),O(n)$ полный класс Понтрягина
$P(F)=\det(E+\frac{F}{2\pi})=p_0(F)+p_1(F)...$.

Задача. Для вещественного расслоения $\xi$ и его комплексификации $\mathbb{C}\otimes\xi$ доказать, что $c_{2k}(\mathbb{C}\otimes\xi)=(-1)^kp_k(\xi)$, a $c_{2k+1}(\mathbb{C}\otimes\xi)$ - нулевые.

В литературе то, что необходимо доказать, в основном, даётся как определение классов Понтрягина. Что делать в моём случае?
Пробовал начать с классов Понтрягина, матрица кривизны состоит из блоков $2\times2$ с нулями на главной диагонали. Но как из неё перейти к матрице кривизны для комплексификации? И к тому же харклассы не зависят от выбора связности.
Может кто помочь, с чего начать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение14.05.2019, 04:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Nickspa в сообщении #1392856 писал(а):
Может кто помочь, с чего начать?


По-моему, это доказывается на страницах 254 -- 256 русского издания Милнора и Сташефа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение15.05.2019, 23:13 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Из формул, которые вы написали, всё получается очевидно, если хорошо понимать, о чём речь. Надо выяснить, что вы не понимаете; ключевые места я дальше отмечаю вопросами.

Nickspa в сообщении #1392856 писал(а):
Может кто помочь, с чего начать?
Давайте начнём с простейшего нетривиального случая, то есть с ранга 2.

Вот есть у вас вещественное расслоение $\xi$ ранга 2 над компактным гладким многообразием $M$. Считаем, что в $\xi$ задано евклидово скалярное произведение (если не задано, то его всегда можно выбрать; полезно понимать, почему). Выберем какую-нибудь согласованную с ним связность (знаете, почему она есть?). Теперь встанем в какую-нибудь окрестность $U$ на базе, над которой расслоение тривиализуется, и выберем ортонормированный базис в сечениях (то есть 2 сечения, которые над каждой точкой базы образуют ортонормированный базис слоя). Относительно этого базиса кривизна представится каким-то элементом $F$ из $\Gamma\left(\Lambda^2 T^*M\big|_U\right\otimes so(2))$ (понятно, что тут написано и почему именно так?). Проще говоря, $F$ -- это кососимметрическая $2\times 2$ матрица, элементы которой -- 2-формы.

Напишем $F=2\pi\begin{pmatrix}0 & F_{12}\\ -F_{12} & 0\end{pmatrix}$ (здесь $F_{12}$ -- некоторая 2-форма). Распишите определитель $\det(1+\frac 1{2\pi}F)$, который у вас был в первом посте. Какими формами представляются классы Понтрягина? Вообще, какому инвариантному многочлену на $so(2)$ соответствует $p_1$?

Теперь комплексифицируем. Евклидово скалярное произведение в $\xi$ определит нам эрмитово скалярное произведение в $\xi\otimes\mathbb C$ (как?), а связность, которая у нас была в $\xi$, определит согласованную связность в $\xi\otimes \mathbb C$: она будет задаваться теми же самыми матрицами, что и исходная, только мы про них теперь будем думать как про комплексные (как это сказать аккуратно?). Соответственно кривизна будет задаваться тою же матрицею $F=2\pi\begin{pmatrix}0 & F_{12}\\ -F_{12} & 0\end{pmatrix}$, только мы теперь думаем про неё как про элемент $\Gamma\left(\Lambda^2 T^*M\big|_U\right\otimes u(2))$.

Распишите определитель $\det(1+\frac i {2\pi}F)$, который был у вас в 1-м посте. Какими формами представляются классы Черна? Вообще, каким инвариантным многочленам на $u(2)$ соответствуют $c_1$ и $c_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение16.05.2019, 01:11 


09/12/16
146
Slav-27 в сообщении #1393225 писал(а):
Надо выяснить, что вы не понимаете

Очень хочется. Я посмотрел Милнора, там на указанных страницах действительно близко к тому, что нужно, но не совсем. Я попытался модифицировать и пришёл к тому, что Вы указываете, но вопросов немало.
Slav-27 в сообщении #1393225 писал(а):
Давайте начнём с простейшего нетривиального случая, то есть с ранга 2

Почему именно с ранга 2. Я сначала попробовал с ранга 1. Правильно ли я понимаю, что в данном случае кривизна нулевая, и $P(x)=1$?
Slav-27 в сообщении #1393225 писал(а):
(если не задано, то его всегда можно выбрать; полезно понимать, почему)

Ну это, вроде, понимаю: на тривиализующих окрестностях выбираем скалярное, и потом с помощью разбиения единицы склеиваем на всем многообразии. Так?
Slav-27 в сообщении #1393225 писал(а):
(знаете, почему она есть?)

Из теоремы Леви-Чевиты?
Slav-27 в сообщении #1393225 писал(а):
$\Gamma\left(\Lambda^2 T^*M\big|_U\right\otimes so(2))$ (понятно, что тут написано и почему именно так?)

Множество 2-форм на $End \xi$ в окрестности $U$, то есть $F\in \Omega^2(B, End \xi)$(это то же самое, что Вы написали?)? Но почему $so(2)$?
Slav-27 в сообщении #1393225 писал(а):
Распишите определитель $\det(1+\frac 1{2\pi}F)$, который у вас был в первом посте. Какими формами представляются классы Понтрягина? Вообще, какому инвариантному многочлену на $so(2)$ соответствует $p_1$?

$\det(1+\frac 1{2\pi}F)=1+F_{12}^2$. $p_0=1, p_1=F_{12}^2$
Slav-27 в сообщении #1393225 писал(а):
Евклидово скалярное произведение в $\xi$ определит нам эрмитово скалярное произведение в $\xi\otimes\mathbb C$ (как?)

Над этим пока не думал, давайте отложим чуть на потом, но обязательно вернёмся.
Slav-27 в сообщении #1393225 писал(а):
она будет задаваться теми же самыми матрицами, что и исходная, только мы про них теперь будем думать как про комплексные (как это сказать аккуратно?).

Комплексификацию я вижу так: берём $\xi\oplus\xi$, вводим комплексную структуру. Тогда, вроде, матрица кривизны на $\xi\oplus\xi$ получается такая $$2\pi\begin{bmatrix}
0&F_{12}&0&0\\
-F_{12}&0&0&0\\
 0&0&0&-F_{12}\\
0&0&F_{12}&0
\end{bmatrix}$$. Если верно, то не пойму, почему во втором блоке знаки у кривизны меняются. Наверное, из-за комплексной структуры, но каким образом.
Тогда на $\xi\otimes\mathbb C$ матрица кривизны, похоже, такая $$2\pi\begin{bmatrix}
 i F_{12}& 0 \\
 0& -i F_{12}
\end{bmatrix}$$
$ $\det(1+\frac i {2\pi}F)=\det\begin{bmatrix}
 1-F_{12}& 0\\
 0& 1+ F_{12}
\end{bmatrix}=1-F_{12}^2$$, то есть $c_0=1, c_1=0, c_2=-F_{12}^2$.
А дальше, наверное нужно использовать формулу Уитни. Правильно ли хоть что-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение16.05.2019, 11:29 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Nickspa в сообщении #1393256 писал(а):
Почему именно с ранга 2. Я сначала попробовал с ранга 1. Правильно ли я понимаю, что в данном случае кривизна нулевая, и $P(x)=1$?
Да, и поэтому этот случай тривиален: "нулевой класс Понтрягина" никакой информации не несёт, потому что он всегда 1.

Nickspa в сообщении #1393256 писал(а):
Ну это, вроде, понимаю: на тривиализующих окрестностях выбираем скалярное, и потом с помощью разбиения единицы склеиваем на всем многообразии. Так?
Да.

Nickspa в сообщении #1393256 писал(а):
Из теоремы Леви-Чевиты?
Теорема Леви-Чивиты (та, которую я знаю) -- это про касательное расслоение, и сложность там в том, чтобы не было кручения. Нам неважно, будет ли кручение, поэтому всё проще. И не надо угадывать.

Nickspa в сообщении #1393256 писал(а):
Множество 2-форм на $End \xi$ в окрестности $U$, то есть $F\in \Omega^2(B, End \xi)$(это то же самое, что Вы написали?)? Но почему $so(2)$?
Кривизна -- это, действительно, элемент $\Gamma(\Lambda^2T^*M\otimes \operatorname{End}\xi)$. Теперь мы тривиализуем $\xi$ над $U$. Что значит тривиализовать расслоение? Это значит установить изоморфизм расслоения $\xi\big|_U$ и тривиального расслоения над $U$ со слоем $\mathbb R^2$. Этот изоморфизм даст нам изоморфизм расслоения $\operatorname{End}\xi\big|_U$ и тривиального расслоения над $U$ со слоем $\operatorname{End}\mathbb R^2=gl(2)$. (Контрольный вопрос: как?) Соответственно мы получим изоморфизм $\left(\Lambda^2T^*M\otimes\operatorname{End}\xi\right)\big|_U$ и $\Lambda^2T^*M\big|_U\otimes gl(2)$. В последнем случае знаком $gl(2)$ я обозначил тривиальное расслоение над $U$ со слоем $gl(2)$; таким образом, я злоупотребляю обозначениями. Возможно, тривиальное раслоение лучше обозначать каким-то другим знаком, но я не могу придумать каким.

Если структурная группа векторного расслоения редуцирована от $GL(2)$ к какой-то подгруппе Ли $G\subset GL(2)$, а связность согласована с этой $G$-структурой, то эндоморфизмы слоя $\xi_p$ над точкою $p$, определяемые кривизною, будут не какие попало элементы $\operatorname{End}\xi_p=gl(\xi_p)$, а элементы подпространства $g(\xi_p)\subset gl(\xi_p)$. Значит, кривизна при тривиализации попадёт не просто в $\Lambda^2T^*M\big|_U\otimes gl(2)$, а в его подрасслоение $\Lambda^2T^*M\big|_U\otimes g$. Здесь $g\subset gl(2)$ -- соответствующая подалгебра Ли.

Nickspa в сообщении #1393256 писал(а):
$\det(1+\frac 1{2\pi}F)=1+F_{12}^2$. $p_0=1, p_1=F_{12}^2$
Ну а всё-таки забудем пока про кривизну вообще. Есть алгебра Ли $so(2)$, она состоит из кососимметрических вещественных $2\times 2$ матриц. На ней есть инвариантные многочлены, например определитель: его значение на произвольной матрице $\begin{pmatrix}0 & a\\ -a & 0\end{pmatrix}\in so(2)$ равно $a^2$. (Как всегда, имеется в виду инвариантность относительно присоединённого действия $SO(2)$: $p(x)=p(g^{-1}xg)$ для любых $x\in so(2), g\in SO(2)$.) Какому инвариантному многочлену соответствует $p_1$? Тот же вопрос про $u(2)$ и $c_1$ и $c_2$. Этот вопрос ключевой, подумайте внимательно! Потом надо будет научиться на него отвечать и для случая произвольного ранга.

Nickspa в сообщении #1393256 писал(а):
Комплексификацию я вижу так: берём $\xi\oplus\xi$, вводим комплексную структуру.
Кажется, сейчас это не самый лучший способ думать про комплексификацию. Что надо сделать, чтобы задать вещественное векторное расслоение ранга $2$ над $M$? Надо выбрать открытое покрытие $\mathcal U$ базы $M$ и склеивающий коцикл $\varphi$ из группы $C^1(M,\mathcal U, GL(2,\mathbb R))$ чеховских 1-коцепей, отвечающих покрытию $\mathcal U$, с коэффициентами в пучке гладких функций $M\to GL(2,\mathbb R)$. Возможно, это звучит страшно; попросту это всё значит, что каждой (упорядоченной) паре открытых множеств $U_\alpha, U_\beta$ из нашего покрытия $\mathcal U$ надо сопоставить гладкую функцию $\varphi_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta \to GL(2,\mathbb R)$ (функцию склейки), причём эти функции должны удовлетворять определённым условиям, чтобы можно было корректно склеить.

(Оффтоп)

На каждом $U_\alpha$ функция $\varphi_{\alpha\alpha}(x)\equiv 1$, на каждом двойном пересечении $U_\alpha\cap U_\beta$ функция $\varphi_{\alpha\beta}(x)\varphi_{\beta\alpha}(x)\equiv 1$, на каждом тройном пересечении $U_\alpha\cap U_\beta\cap U_\gamma$ функция $\varphi_{\alpha\beta}(x)\varphi_{\beta\gamma}(x)\varphi_{\gamma\alpha}(x)\equiv 1$.
Это понятно?

Теперь пусть у нас есть вещественное векторное расслоение, заданное покрытием $\mathcal U$ и набором гладких функций $\varphi_{\alpha\beta}:U_{\alpha}\cap U_{\beta}\to GL(2,\mathbb R).$ Как по нему построить комплексное векторное расслоение, то есть как сделать коцикл со значениями в $GL(2,\mathbb C)$? У нас есть замечательное вложение $GL(2,\mathbb R)$ в $GL(2,\mathbb C)$: любую вещественную матрицу можно рассматривать как комплексную. Используя это вложение, мы очевидным образом получаем из набора $GL(2,\mathbb R)$-значных функций набор $GL(2,\mathbb C)$-значных функций. Это и будет склеивающий коцикл для комплексификации нашего вещественного векторного расслоения.

Операции над векторными расслоениями так и получаются: прямая сумма получается из отображения $GL(m)\times GL(n)\to GL(m+n)$, которое пару матриц $A,B$ переводит в $\begin{pmatrix}A & 0\\ 0 & B\\ \end{pmatrix}$, комплексно сопряжённое расслоение -- из отображения $GL(n,\mathbb C)\to GL(n,\mathbb C)$, которое комплексно сопрягает матрицы, и так далее: так же получаются двойственные расслоения, тензорные произведения, $\mathrm{Hom}$'ы...

Nickspa в сообщении #1393256 писал(а):
Если верно, то не пойму, почему во втором блоке знаки у кривизны меняются. Наверное, из-за комплексной структуры, но каким образом.
Не надо угадывать, надо посидеть и подумать, как из связности там сделать связность тут и что при этом случится с кривизной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение16.05.2019, 19:35 


09/12/16
146
Slav-27 в сообщении #1393321 писал(а):
поэтому всё проще. И не надо угадывать.

Ну тогда, наверное, как и со скалярным - на окрестностях и дальше с помощью разбиения единицы?
Slav-27 в сообщении #1393321 писал(а):
Какому инвариантному многочлену соответствует $p_1$?

Ну из определения $p(x)=det(E+x)=det\begin{bmatrix}
 1& a & \\
 -a& 1 &
\end{bmatrix}=1+a^2,p_1=a^2?$. По-другому, не знаю как.
$c(x)=det(E+ix)=det\begin{bmatrix}
 ia_1& 0 & \\
 0& ia_2 &
\end{bmatrix}=det\begin{bmatrix}
 1-a_1& 0 & \\
 0& 1-a_2 &
\end{bmatrix}=1-(a_1+a_2)+a_1\cdot a_2$
$c_1=-(a_1+a_2),c_2=a_1\cdot a_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение16.05.2019, 21:34 


09/12/16
146
Кажется начинаю понимать о чём Вы.
Slav-27 в сообщении #1393225 писал(а):
только мы про них теперь будем думать как про комплексные (как это сказать аккуратно?).

Это Вы как раз и расписали здесь
Slav-27 в сообщении #1393321 писал(а):
Используя это вложение, мы очевидным образом получаем из набора $GL(2,\mathbb R)$-значных функций набор $GL(2,\mathbb C)$-значных функций.

То есть мы берём те же элементы векторного расслоения, но определяем для них умножение на мнимую единицу, верно?

Итак, есть вещественное расслоение $\xi$ с матрицей кривизны $F=2\pi\begin{pmatrix}0 & F_{12}\\ -F_{12} & 0\end{pmatrix}$.
Тогда $P(F)=det\begin{pmatrix}1 & F_{12}\\ -F_{12} & 1\end{pmatrix}=1+F_{12}^2$

Для $\xi\otimes\mathbb{C}$ матрица такая же, но уже с определённым для её элементов умножением на мнимую единицу. Тогда $P(F)=det\begin{pmatrix}1 & iF_{12}\\ -iF_{12} & 1\end{pmatrix}=1-F_{12}^2$
Но по определению $c_1$ от $x_1,x_2,...,x_n$ равен $x_1+x_2+...+x_n$, $c_2=x_1x_2+x_1x_3...$, ..., $c_n=x_1x_2...x_n$.
Поэтому у нас $c_1=0,c_2=-F_{12}^2=p_1$.

Далее, $\xi$ - $n$- мерное расслоение. Матрица кривизны состоит из двумерных блоков предыдущего типа и, при нечётном $n$ последние строка и столбец нулевые. Соответственно
$p(F)=det\begin{pmatrix}1 & F_1\\ -F_1 & 1\end{pmatrix}det\begin{pmatrix}1 & F_2\\ -F_2 & 1\end{pmatrix}...det\begin{pmatrix}1 & F_\frac{n}{2}\\ -F_\frac{n}{2} & 1\end{pmatrix}=
(1+F_1^2)...(1+F_\frac{n}{2}^2)=$
$=1+$произведения квадратов элементов матрицы кривизны.
Тогда
$c(F)=(1-F_1^2)...(1-F_\frac{n}{2}^2)=1\pm$ те же самые произведения квадратов. А так как нечётные $c$ - это суммы произведений нечётного числа множителей, то $c_{2k+1}=0$. Ну а чётные как раз с чередованием знаков равны классам Понтрягина. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение16.05.2019, 22:40 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Nickspa в сообщении #1393434 писал(а):
Ну тогда, наверное, как и со скалярным - на окрестностях и дальше с помощью разбиения единицы?
Угадали.

Nickspa в сообщении #1393434 писал(а):
Ну из определения $p(x)=det(E+x)=det\begin{bmatrix}
1& a & \\
-a& 1 &
\end{bmatrix}=1+a^2,p_1=a^2?$. По-другому, не знаю как.
$c(x)=det(E+ix)=det\begin{bmatrix}
ia_1& 0 & \\
0& ia_2 &
\end{bmatrix}=det\begin{bmatrix}
1-a_1& 0 & \\
0& 1-a_2 &
\end{bmatrix}=1-(a_1+a_2)+a_1\cdot a_2$
$c_1=-(a_1+a_2),c_2=a_1\cdot a_2$
На вопрос про $p_1$ вы ответили. А вот про $c_1$ и $c_2$ не совсем. Напишите явно многочлены от матричных элементов. Иными словами: чему равны значения соответствущих инвариантных многочленов на произвольной косоэрмитовой матрице $\begin{pmatrix}x & y\\ -y & x\\ \end{pmatrix}\in u(2)$ ($x$ чисто мнимое число, $y$ произвольное комплексное)?

И тогда вы сможете точно сказать, где там $c_1$, а где $c_2$.

-- 16.05.2019, 23:42 --

Nickspa в сообщении #1393464 писал(а):
Кажеся начинаю понимать о чём Вы.
Slav-27 в сообщении #1393225 писал(а):
только мы про них теперь будем думать как про комплексные (как это сказать аккуратно?).

Это Вы как раз и расписали здесь
Slav-27 в сообщении #1393321 писал(а):
Используя это вложение, мы очевидным образом получаем из набора $GL(2,\mathbb R)$-значных функций набор $GL(2,\mathbb C)$-значных функций.
Нет: первое я спрашивал то ли про связность, то ли про кривизну, а второе говорил про склеивающий коцикл. Разные вещи.

Nickspa в сообщении #1393464 писал(а):
То есть мы берём те же элементы векторного расслоения, но определяем для них умножение на мнимую единицу, верно?
Можно истолковать так, что станет верно.

Nickspa в сообщении #1393464 писал(а):
Далее, $\xi$ - $n$- мерное расслоение. Матрица кривизны состоит из двумерных блоков предыдущего типа и, при нечётном $n$ последние строка и столбец нулевые.
Вообще говоря, конечно же нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение16.05.2019, 23:30 


09/12/16
146
Slav-27 в сообщении #1393478 писал(а):
Напишите явно многочлены от матричных элементов

$A=\begin{pmatrix}x & y\\ -y & x\\ \end{pmatrix}\in u(2)$

$x=ix_0,x_0 \in \mathbb{R}$

$det $\begin{pmatrix}1-x_0 & iy\\ -iy & 1-x_0\\ \end{pmatrix}=1-2x_0+x_0^2-y^2$

$c_1=-2x_0=tr [iA], c_2=x_0^2-y^2=det [iA]$
Slav-27 в сообщении #1393478 писал(а):
Вообще говоря, конечно же нет.

А к жордановой форме не могу разве привести?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение17.05.2019, 00:19 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Аккуратнее! Во-первых, забыли $2\pi$. Во-вторых, там какая-то проблема со знаками: 2 определения классов Черна в вашем первом посте дают разные знаки. Проблемы со знаками бывают постоянно, избавляться от них муторно и я сейчас на этом зацикливаться не буду.

Воспользуемся вторым определением из 1-го поста, потому что оно красивее: многочлен, соответствующий $c_i$, на диагональной матрице $\begin{pmatrix}2\pi ix_1 \\  & 2\pi ix_2 \\ & & \ddots\\ & & & 2\pi ix_n\end{pmatrix}$ равен $\sigma_i(x_1,...,x_n)$. В частности, $c_1\begin{pmatrix}2\pi ix_1 & 0 \\ 0 & 2\pi ix_2 \end{pmatrix}=x_1+x_2$, $c_2=x_1x_2$.

Теперь главное: поскольку многочлены инваиантны, их достаточно знать на диагональных матрицах (любая матрица из $u(n)$ приводится унитарным преобразованием к диагональному виду). В частности, для ранга 2 мы замечаем, что $c_1(x)=\operatorname{tr}\dfrac x{2\pi i}$, $c_2(x)=\det \dfrac x{2\pi i}$: это верно уже для любых (числовых) матриц, а не только диагональных.

Теперь вычисляем это для нашей матрицы кривизны $F=2\pi\begin{pmatrix}0 & F_{12}\\ -F_{12} & 0\end{pmatrix}$: имеем $c_1=\operatorname{tr}\dfrac F{2\pi i}=0$, $c_2=\det \dfrac F{2\pi i}=-F_{12}^2$. Всё получилось!

-- 17.05.2019, 01:22 --

Nickspa в сообщении #1393500 писал(а):
А к жордановой форме не могу разве привести?
Во-первых, не к жордановой. Во-вторых: числовые матрицы -- безусловно можете. Я хочу до вас донести, что уметь приводить к хорошему виду числовые матрицы уже достаточно.

-- 17.05.2019, 01:42 --

А именно, задача сводится к следующей. У нас есть матрица $x\in so(n)$. Мы применяем к ней $SO(n)$-инвариантный многочлен $p_i$, который на диагональных матрицах $\begin{pmatrix}0 & 2\pi y_1 \\ -2\pi y_1 & 0 \\ & & \ddots\end{pmatrix}\in so(n)$ равен $\sigma_i(y_1^2,...,y_n^2)$ (он однозначно этим определяется на всей $so(n)$ по инвариантности). (Это определение классов Понтрягина!) Теперь мы рассматриваем эту же матрицу $x$ как элемент $u(n)$ и применяем к ней $U(n)$-инвариантный многочлен $c_i$, который на диагональных матрицах $\begin{pmatrix}2\pi ix_1 & \\ & \ddots\end{pmatrix}\in u(n)$ равен $\sigma_i(x_1,...,x_n)$ (он однозначно этим определяется на всей $u(n)$ по инвариантности). (Это определение классов Черна!) И надо доказать, что $p_k(x)=(-1)^kc_{2k}(x)$.

Это пока тождество для числовых матриц. А дальше надо сказать примерно следующее заклинание: это тождество есть равенство многочленов от матричных элементов. Если у нас есть 2 многочлена с комплексными коэффициентами, которые в каждой точке совпадают по значению, то это одинаковые многочлены.

(Оффтоп)

Это бывает неверно для многочленов над конечными полями: сравните $x$ и $x^2\in\mathbb Z_2[x]$.
Значит, в них можно подставлять вместо комплексных чисел какие угодно коммутирующие объекты, и тождество всё равно останется верным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение17.05.2019, 00:51 


09/12/16
146
Slav-27 в сообщении #1393514 писал(а):
Во-вторых, там какая-то проблема со знаками

Может, на лекции ошибка, и там в определении не $\frac{iF}{2\pi}$, a $\frac{F}{2\pi i}$? У Милнора тоже встречается подобное, но $i$ в знаменателе.
Slav-27 в сообщении #1393514 писал(а):
2 определения классов Черна

Про эти классы не знаю, похоже что-то обобщающее классы Чженя и Понтрягина. Может дальше будет.

А переход от двумерного к $n$ - мерному верен у меня?

-- 17.05.2019, 00:53 --

Пока писал, Вы уже добавили ответ :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение17.05.2019, 00:55 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Черн и Чжень -- это 2 варианта кириллического написания одной и той же китайской фамилии 陳. (А стандартная транскрипция вообще Чэнь, но я никогда не видел, чтобы по-русски так писали или говорили.)

-- 17.05.2019, 02:00 --

Со знаками разбирайтесь сами, пожалуйста. Там ещё кривизну в разных местах определяют с разными знаками, и так далее и тому подобное.

:offtopic3: А кто-нибудь знает, откуда взялось "Чжень"? "Черн" понятно: кириллическая транскрипция устаревшей романизации китайского.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение17.05.2019, 01:05 


09/12/16
146
Вы мне уже весь курс вкратце рассказали, а у меня всё вопросы :oops:

Но классы Понтрягина получается определены через $y_i$, а Чженя - через $x_i$. Для доказательства тождества надо ведь связь между ними знать. В двумерном случае помогло, что там след и определитель матрицы, а промежуточные многочлены ведь уже не такие, и их знания на диагональных элементах без связи $x_i$ c $y_i$ недостаточно. Что я опять упускаю (не знаю)?

А как я сделал через определители - не верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение17.05.2019, 01:12 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Вы посчитали определитель, получили сумму $1+c_1+c_2$, а как вы понимаете, где какое слагаемое, кто там $c_1$ и кто $c_2$? Это легко доделать, и получится то же самое.

-- 17.05.2019, 02:13 --

Nickspa в сообщении #1393527 писал(а):
Для доказательства тождества надо ведь связь между ними знать.
Вы и знаете: одна и та же матрица некоторым ортогональным преобразованием приводится к такому-то виду и некоторым унитарным к такому-то.

Иксы -- это почти собственные числа: как они выражаются через игреки?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристические классы
Сообщение18.05.2019, 00:06 


09/12/16
146
Slav-27 в сообщении #1393529 писал(а):
как они выражаются через игреки?

:facepalm: Ну конечно, характеристическое уравнение... Стыдно...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group