Гамильтониан осциллятора

[IdaRubin]

Приветствую!
Помогите, пожалуйста, разобраться. У меня безразмерный гамильтониан получился равным $\frac{H}{\hbar\omega}=\frac{1}{2}(P^2+X^2)$, а как мне это факторизовать? $a=\frac{1}{\sqrt{2}}(P+iX)$ и $a^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(P-iX)$ или $b=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+iP)$ и $b^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(X-iP)$. Наверное, нужно использовать коммутационное соотношение $[X,P]=i$, но у меня получается одно и то же. Разве так должно быть?

[DimaM]

IdaRubin в сообщении #1393065 писал(а):

а как мне это факторизовать? $a=\frac{1}{\sqrt{2}}(P+iX)$ и $a^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(P-iX)$ или $b=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+iP)$ и $b^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(X-iP)$.

А это разве не одно и то же с точностью до множителя?

[Red_Herring]

Тут другая фишка $(x\pm ip)(x\mp ip)= x^2+p^2 \mp 1$, т.е. все три оператора $aa^+$, $a^+a$ и полусумма квадратов--разные.