Эллиптические интегралы

[Paul Ivanov]

Возможно ли как-то без замены переменной, оставаясь в области вещественных чисел, свести неопределённый интеграл вида: $\int\limits_{}^{}\frac{r(x^2)dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}$, где $r(u)$-рациональная функция, $0<k<1$, к трём стандартным эллиптическим интегралам вида: $\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}$,$\int\limits_{}^{}\frac{x^2dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}$,$\int\limits_{}^{}\frac{dx}{(1+hx^2)\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}$, где $h$ - произвольный параметр и $0<k<1$?
Я разложил рациональную дробь на простейшие дроби и тогда единственная проблема - это неопределённый интеграл следующего вида: $\int\limits_{}^{}\frac{(ax^2-b)dx}{((x^2-c)^2+d^2)\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}$. Есть идеи?

[Markiyan Hirnyk]

Математика выражает последний интеграл через эллиптические интегралы третьего рода от сложных аргументов.

[Paul Ivanov]

То, что аргументы сложные и так понятно. Так можно ли в моём случае обойтись без замены переменной или нет?

[Markiyan Hirnyk]

Paul Ivanov в сообщении #1392945 писал(а):

То, что аргументы сложные и так понятно. Так можно ли в моём случае обойтись без замены переменной или нет?

Судя по результату Математики, нет.