2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 О хаосе в дискретных лагранжевых системах
Сообщение14.05.2019, 15:34 
Аватара пользователя


31/08/17
04/11/19
1547
Начнем со следующей гамильтоновой системы
$$
H(t,x,p)=\frac{1}{2}|p|^2+V(x)\sum_{j\in\mathbb{Z}}\delta (t-2\pi j).\qquad (1)$$
Здесь $p=(p_1,\ldots,p_m),\quad x=(x^1,\ldots,x^m)\in\mathbb{R}^m;$ гладкая функция $V$ определена в $\mathbb{R}^m$;
через $|\cdot|$ обозначена стандартная евклидова норма; $\delta(t)$ -- $\delta$-функция. Таким образом, функция Гамильтона $2\pi$-периодична по $t$.

То есть по системе стукают молотком через промежутки времени $2\pi$. Замечательно то, что если сила, заданная потенциалом $V$, достаточно велика, то систему швыряет от одного положения равновесия до другого, вдоль любой наперед заданной ломаной, соединяющей эти положения равновесия. Это один из эффектов, который принято ассоциировать с динамическим хаосом.

Перейдем к строгим формулировкам.

Легко показать, что любое решение этой системы представляет собой кусочно постоянную функцию $p(t)$ и непрерывную, кусочно линейную функцию $x(t)$.



Вводя обозначения $$x_{\pm}=x(\pm \pi), \quad x_0=x(0),\quad p_{\pm}=\lim_{t\to  \pm 0}p(t)$$ находим
формулы, характеризующие поведение системы на периоде $[-\pi,\pi]\ni t$:
$$x_{\pm}=x_0\pm \pi p_\pm,\quad p_+-p_-=-\frac{\partial V}{\partial x}(x_0).$$
Откуда
$$x_+-2x_0+x_-=-\pi\frac{\partial V}{\partial x}(x_0).$$
Следовательно, значения $x_k=x(\pi k),\quad k\in\mathbb{Z}$ связаны соотношением
$$
x_{k+1}-2x_k+x_{k-1}=-\pi\frac{\partial V}{\partial x}(x_k).\qquad (2)$$
Эта формула может быть записана с помощью лагранжиана:
$$\frac{\partial}{\partial x_k}\Big(L(x_{k-1},x_k)+L(x_k,x_{k+1})\Big)=0,\quad L(x,y)=\frac{1}{2}|x-y|^2-\pi V(x).$$


Формула (2) задает отображение $(x_{k-1},x_k)\mapsto (x_k,x_{k+1})$.

При $m=1,\quad V(x)=\mathrm{const}\cdot\cos x$ это отображение является лагранжевой версией отображения Чирикова.

Антиинтегрируемый предел.
Рассмотрим следующую дискретную лагранжеву систему:
$$
x_{k+1}-2x_k+x_{k-1}=-
\frac{1}{\varepsilon}\frac{\partial V}{\partial x}(x_k).\qquad (3)$$
Через $\varepsilon$ обозначен малый параметр, $\varepsilon> 0.$

Предположим, что критические точки $x^*_1,\ldots,x^*_N$ (возможно есть и другие критические точки, но мы выбрали это конечное подмножество) функции $V$ невырождены:
$$\frac{\partial V}{\partial x}(x^*_j)=0,\quad \det\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}(x^*_j)\ne 0,\quad j=1,\ldots,N.$$
Отметим, что каждая из этих точек является положением равновесия дискретной лагранжевой системы (3): последовательность $x_k=x^*_j$ есть решение рекуррентного соотношения (3).

Через $C=\{x^*_1,\ldots,x^*_N\}$ обозначим множество этих критических точек.


Теорема. Для любого достаточно малого $\mu>0$ и любой последовательности
$$X=\{X_k\}_{k\in\mathbb{Z}},\quad X_k\in C$$ существует такое $\varepsilon_0>0$, что для всякого $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ найдется решение $\{\tilde x_k\}$ дискретной лагранжевой системы (3) такое, что
$$|\tilde x_k-X_k|\le \mu,\quad k\in\mathbb{Z}.$$


Схема доказательства. Введем множество $M_\mu(X)$ состоящее из последовательностей $\{x_k\},\quad k\in\mathbb{Z}$ таких, что $|x_k-X_k|\le \mu$ для всех $k\in\mathbb{Z}$. Это множество является полным метрическим пространством относительно метрики
$$d(x',x'')=\sup_{k\in\mathbb{Z}}|x'_k-x''_k|,\qquad x'=\{x'_k\},\quad x''=\{x''_k\}\in M_\mu(X).$$
Отображение $x\mapsto \frac{\partial V}{\partial x}(x)$ является диффеоморфизмом малой окрестности $U_j$ точки $x^*_j$ на малую окрестность нуля $V_j$. Причем выберем эти окрестности так, что $U_i\cap U_j=\emptyset,\quad i\ne j.$

Через $F_j:V_j\to U_j$ обозначим обратный диффеоморфизм, $F_j(0)=x^*_j$.

Выберем $\mu>0$ настолько малым, что бы шар
$$B_j(\mu)=\{x\in\mathbb{R}^m\mid|x-x^*_j|\le\mu\}\subset U_j.$$
Тогда при достаточно малых $\varepsilon>0$ уравнение (3) эквивалентно следующему
$$x_k=F_{l(k)}\Big(-\varepsilon(x_{k+1}-2x_k+x_{k-1})\Big),\quad k\in\mathbb{Z}.\qquad (4)$$
В этой системе уравнений $l(k)$ выбрано из условия $X_k=x^*_{l(k)}$.
Система (4) представляет собой задачу о неподвижной точке. Легко показать, что отображение, стоящее в правой части ,при малых $\varepsilon$ является сжатием пространства $M_\mu(X)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group