Прообраз максимального идеала

[Raja19]

Доброго времени суток!

Упражнение из Ленга: доказать, что прообраз максимального идеала относительно сюръективного гомоморфизма коммутативных колец - максимальный идеал.

Рассмотрел идеал, строго включающий этот прообраз. Показал, что его образ - все кольцо. Пока больше ничего получилось.
Может надо использовать, что прообраз - простой идеал?

[vpb]

Пусть $f\colon A\longrightarrow B$ --- сюръективный гомоморфизм (коммутативных ассоциативных колец с единицей), пусть $I\subset B$ --- максимальный идеал, $f^{-1}(I)$ --- его прообраз. Допустим, что существует идеал $J$, промежуточный между $A$ и $f^{-1}(I)$. Тогда, как вы уже доказали, $f(J)=B$.
Поэтому любой элемент из $A$ можно представить как $x+y$, где $x\in J$, а $f(y)=0$. Остается заметить .... что ?

[Raja19]

vpb в сообщении #1392663 писал(а):

Пусть $f\colon A\longrightarrow B$ --- сюръективный гомоморфизм (коммутативных ассоциативных колец с единицей), пусть $I\subset B$ --- максимальный идеал, $f^{-1}(I)$ --- его прообраз. Допустим, что существует идеал $J$, промежуточный между $A$ и $f^{-1}(I)$. Тогда, как вы уже доказали, $f(J)=B$.
Поэтому любой элемент из $A$ можно представить как $x+y$, где $x\in J$, а $f(y)=0$. Остается заметить .... что ?

Понял! Спасибо!

[Duelist]

Хорошо, да.
Я посмотрел, как я решал (благо всего Ленга документирую). Я там показал, что фактор по прообразу $f^{-1} (\mathbb{I} )$ будет полем, установив изоморфизм между $A / f^{-1} (\mathbb{I} )$ и $B/ \mathbb{I}.$
Но тут более универсально работающее соображение. Полезно рассматривать ядро в контексте дополняемости.