Сравнение наборов данных

[fkortv]

Задача следующая:
Есть три набора данных, данные дискретные: время и результат расчета параметра. Один из наборов данных эталонный (С), два рассчитаны (А, В)
Задача: написать такую программу, которая бы позволяла сравнить результат расчета параметров и если результаты разнятся более, чем на 10% прекратить сравнение, ну и вывести соответствующее сообщение.
Руководитель предложил считать L2 норму для функций.
$ \rho\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)=(\int_a^a(f{\left(x\right)}_ig(x))^{1/2}$
Те примерно такой план решения для рассчитанных параметров :
1) берем по две соседние точки и находим для них уравнение прямой проходящей через эти точки (для наборов A,B)
2) считаем значение L2 нормы, беря за функции уравнения прямых
3) считаем пока L2 норма не превысит 10% от разницы в значениях интеграла для набора А и для набора В по функциям из 1 и на отрезке из 1(вот тут я совсем не уверена, что так вообще можно делать)
Если расчет прошел сравниваем с эталонным. Тут временные шаги другие. Тогда:
1) интерполируем С кусочно линейной функцией, находим промежуточные значения на шагах из А и В
2) на этих новых данных делаем тоже самое, что и при сравнении А и В

Можно ли таким способом решить задачу? Буду рада услышать ваши предложения по поводу других вариантов решения. Заранее спасибо за помощь.

[slavav]

Наборы $A, B, C$ - это наборы пар вида $(t_i, y_i)$ ?
Эти наборы рассчитаны для одного и того же множества времён? Или в наборах времена могут разнится?
Вы ошиблись описывая норму. В математике норма - функция одного аргумента. Уточните, пожалуйста, что вы имели ввиду.

[fkortv]

L2 норма вот так правильно выглядит:
$ \rho\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)=(\int_a^b(f{\left(x\right)}+g(x))^{1/2}$
Да, вид набора $(t_i, y_i)$, в наборах временна могут разнится.

[slavav]

Норма - функция (функционал лучше сказать в данном случае), которая элементу пространства сопоставляет число. Она не может иметь иметь два аргумента. Вы не перепутали норму и метрику наведённую этой нормой?

[fkortv]

Да, вы правы это метика L2. Получается, что это расстояние между функциями.

[slavav]

Хорошо. Вы выписали метрику с ошибкой. Исправьте, пожалуйста.
Как мы раньше договорились, значения функций известны в различных точках. Метрику вы определяете для функций заданных на отрезке. Как с набора точек продолжить функцию на отрезок?

[fkortv]

Наверно, интерполяцией можно продолжить функцию на отрезок. Верно?
Исправить не могу ошибку выше, почему-то нет возможности правки сообщений.

[slavav]

Верно. Какую интерполяцию вы выбираете? Кусочно-линейную?
Править исходное сообщение не надо. Напиши новый комментарий с верной формулой.

[fkortv]

Да, интерполяцию кусочно-линейную выбираю.

-- 12.05.2019, 21:20 --

fkortv в сообщении #1391899 писал(а):

Задача следующая:
Есть три набора данных, данные дискретные: время и результат расчета параметра. Один из наборов данных эталонный (С), два рассчитаны (А, В)
Задача: написать такую программу, которая бы позволяла сравнить результат расчета параметров и если результаты разнятся более, чем на 10% прекратить сравнение, ну и вывести соответствующее сообщение.
Руководитель предложил считать L2 норму метрику для функций.
$ \rho\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)=(\int_a^b(f{\left(x\right)}+g(x))^{1/2}$
Те примерно такой план решения для рассчитанных параметров :
1) берем по две соседние точки и находим для них уравнение прямой проходящей через эти точки (для наборов A,B)
2) считаем значение L2 нормы, беря за функции уравнения прямых
3) считаем пока L2 норма не превысит 10% от разницы в значениях интеграла для набора А и для набора В по функциям из 1 и на отрезке из 1(вот тут я совсем не уверена, что так вообще можно делать)
Если расчет прошел сравниваем с эталонным. Тут временные шаги другие. Тогда:
1) интерполируем С кусочно линейной функцией, находим промежуточные значения на шагах из А и В
2) на этих новых данных делаем тоже самое, что и при сравнении А и В

Можно ли таким способом решить задачу? Буду рада услышать ваши предложения по поводу других вариантов решения. Заранее спасибо за помощь.

Исправлены ошибки в вопросе.

[slavav]

С интерполяцией ясно. С метрикой нет. Поднимайте свои конспекты и уточняйте
1. как связаны норма и метрика,
2. как задаётся норма $\ell_2$ для функций на отрезке.

[fkortv]

Норма L2 задается вот так вроде бы:
$ ||f||=(\int_a^b(f^{2}{\left(x\right)})^{1/2}$
А как норма связана с метрикой я не нашла. Норма - это вроде длина элемента, а метрика расстояние между элементами пространства.

[slavav]

Норму вы задали почти верно - есть ошибки в нотации, но неважно. Смысл в том что вычислить определенный интеграл квадрата функции.
Метрика задаётся как норма от разницы функций: $d(f, g) = \left\lVert f - g \right\rVert$.
$d(f, g) = \sqrt{\int\limits_{a}^{b}(f(x) - g(x))^2dx}$
Мы должны вычесть две кусочно-линейные функции. Какая функция получится в результате?
Вы сможете вычислить определённый интеграл квадрата этой функции?

[fkortv]

Вычтем две кусочно линейные, получим кусочно-линейную, видимо.
Я так понимаю, что если нельзя вычислить интеграл от квадрата функции, то и говорить о метрике и норме L2 для нее нет смысла, так как они тогда не существуют в пространстве L2. Или это не так?

[slavav]

Да, разность будет кусочно-линейной функцией. Надеюсь, вы сумеете научить компьютер считать эту разность.
Да, вы правы, если нет интеграла, то нет и метрики. Почему вы спрашиваете?

Двигаемся дальше: нужно вычислить интеграл квадрата кусочно-линейной функции. Вы умеете это делать?

[fkortv]

Думаю воспользуюсь библиотекой scipy в python для этого.
Там можно вычислить интеграл, а функцию найду.