Как соотносятся логика, ее разделы и теория множеств?

[qubux]

Есть несколько тем на форуме, в которых затрагиваются похожие вопросы, но я все равно запутался. Может кто поправит/объяснит.
Логика высказываний (она же - логика, исчисление высказываний и формальная логика?) - это наиболее "универсальная" и общая логика, которая задает принципы достоверных непротиворечивых и т.п. рассуждений вообще. Здесь вводятся понятия высказываний, логических формул, кванторов и т.д. и составляются логические законы.
Логика предикатов и логики высших порядков, как сказано в википедии, это расширение логики высказываний, т. е. там где используется логика высказываний ее можно заменить на какую-либо расширенную версию.
На основе одной из вышеперечисленных логик можно построить математическую логику, которая есть

из вики писал(а):

раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики.

Пользуясь логикой и математической логикой строят уже все остальные математические теории, в том числе теорию множеств.
Если при описании логики высазываний/высших порядков употребляют слова "множество", "элемент принадлежит множеству", "функция" и т.п. - то под ними подразумеваются наивные, интуитивно понятные конструкции, которые являются только аналогом тех же понятий (омонимами?) из других разделов математики (например функция из теории множеств и матана).
Например, в учебнике Клини, где-то в сноске, оговаривается, что символ $\vDash$ используется здесь как элемент языка исследователя а не языка исследуемого предмета (логики). Грубо говоря, лень писать словом - будем использовать знак $\vDash$. В учебнике Куратовского и Мостовского определения и доказательства строятся на основе логики высказываний; в учебнике по матлогике Игошина множества и функции используются как элементы языка исследователя.
Заранее спасибо.

[george66]

Логика в первую очередь изучает язык математики. Вот есть галочки, палочки, крестики и нолики
$< =+\times 0$
они обозначают некоторые конкретные вещи. Например, такой крестик $+$ в силу традиции обозначает действие сложение. Складываем два кирпича, потом ещё три кирпича, получаем пять кирпичей, это действие называется "сложение". Обозначать его можно любым знаком, крестик мы используем в силу традиции. Далее, изучаем, что можно записать в языке. Например, такая запись
$2+2$
является термом. Термы - это названия предметов. Термы
$2+2, 2\times 2, 4$
это разные названия одного и того же предмета (числа 4). А вот такая запись
$2\times 2=4$
является уже не термом, а высказыванием, высказывания выражают "мысли" или утверждения. Кроме того, в языке можно записывать доказательства и вычисления, их тоже изучает математическая логика.
Теория множеств же является окаменевшим говном мамонта, о ней можете не волноваться. Там сочетались две идеи: дать определения общематических понятий (вроде "декартово произведение") и дать единую систему аксиом для всей математики, в которой "можно формализовать всё". Определения общематематических понятий гораздо лучше давать на языке теории категорий, а формализовать всё в одной теории вообще не надо.

[Someone]

qubux в сообщении #1392538 писал(а):

Логика высказываний (она же - логика, исчисление высказываний и формальная логика?) - это наиболее "универсальная" и общая логика, которая задает принципы достоверных непротиворечивых и т.п. рассуждений вообще.

Нет. Исчисление высказываний — это небольшая часть математической логики, в которой рассматриваются правила комбинирования высказываний и вычисления значений истинности этих комбинаций (исключительно в тех случаях, когда значения истинности составляющих высказываний заранее известны), а также правило вывода modus ponens, позволяющее из одних "истинных" высказываний получать другие. Никаких кванторов в исчислении высказываний нет.

Кванторы появляются в исчислении предикатов. Именно исчисление предикатов является базой для построения математических теорий.

Нужно также иметь в виду, что есть куча всяких других логик, из которых важнейшей является, видимо, интуиционистская логика.

Есть, например, многосортные логики, многозначные логики, логики второго порядка, и уж не знаю, какие ещё.

qubux в сообщении #1392538 писал(а):

На основе одной из вышеперечисленных логик можно построить математическую логику

Нет. Математическая логика включает всё перечисленное выше, а также ещё кучу всякой всячины типа теории доказательств, теории моделей и т. д.

qubux в сообщении #1392538 писал(а):

Если при описании логики высазываний/высших порядков употребляют слова "множество", "элемент принадлежит множеству", "функция" и т.п. - то под ними подразумеваются наивные, интуитивно понятные конструкции, которые являются только аналогом тех же понятий (омонимами?) из других разделов математики (например функция из теории множеств и матана).

При описании логики любого вида, а также любой математической теории используется метатеория (= метаязык), в качестве которой, как правило, выступает естественный язык, но не возбраняется использовать с этой целью какую-нибудь достаточно сильную формальную теорию. Обычно достаточно арифметики Пеано, но чрезвычайно удобно воспользоваться теорией множеств (обычно ZFC или NBG). Что бы там ни говорил искренне уважаемый мной george66, но теория множеств, как правило, существенно удобнее теории категорий.

[epros]

george66 в сообщении #1392548 писал(а):

Теория множеств же является окаменевшим говном мамонта, о ней можете не волноваться. Там сочетались две идеи: дать определения общематических понятий (вроде "декартово произведение") и дать единую систему аксиом для всей математики, в которой "можно формализовать всё". Определения общематематических понятий гораздо лучше давать на языке теории категорий, а формализовать всё в одной теории вообще не надо.

А мне понравилось такое определение теории множеств.

Однако относительно её претензий на то, чтобы "формализовать всё", то, по-моему, под ними всё же есть некоторые основания, хотя здесь и нужны кое-какие оговорки. Оговорка заключается в том, что наше теоретическое знание вовсе не нуждается в том, чтобы быть объединённым "в единую теорию всего". А вот единая метатеория, в рамках которой формализуются все возможные прикладные теории, очень даже полезна. Без неё теоретики из разных областей рано или поздно перестанут понимать друг друга. Как раз теория множеств (причём, с достаточно сильной аксиоматикой) и есть хороший кандидат в такую "единую метатеорию". Про теорию категорий в этом плане не могу ничего сказать.