Матрица расстояний

[geomath]

Возьмем симплекс в евклидовом пространстве и выпишем матрицу расстояний между его вершинами, свойства которой очевидны: она симметрична и ее элементы, положительные или - на главной диагонали - нулевые, удовлетворяют неравенству треугольника. Это необходимые свойства. Спрашивается, чего недостает, чтобы матрица с такими свойствами была матрицей расстояний между вершинами некоторого симплекса в евклидовом пространстве?

Возьмем, например, тетраэдр и уменьшим его высоту до нуля. Тогда указанные свойства будут иметь место, но это не симплекс.

Ну и фиг с вами. Ничего не собираюсь исправлять.

Оказывается, вопрос о необходимых и достаточных условиях существования симплекса в евклидовом пространстве по матрице расстояний между его вершинами подробно рассмотрен в книге М. Берже «Геометрия», 1984 (том 1, теорема 9.7.3.4 и замечание 9.7.3.5). Всего лишь определитель Кэли - Менгера должен быть ненулевым и иметь нужный знак в зависимости от числа вершин симплекса. И ничего больше проверять не надо, ни симметричность матрицы, ни неотрицательность ее элементов, ни неравенство треугольника (хотя, понятно, без них заведомо не получится). А я ожидал несколько другого.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и);
- тему, видимо, следовало открывать всё-таки в ПРР(М).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Modest]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Геометрия»
Причина переноса: по-видимому, автор сам нашёл решение, но вопрос интересный.