Поставим вопрос иначе: а что нам дано? Дано рекурсивное правило. Правило по которому каждому элементу вполне упорядоченного множества (я уже не пишу области определения!) сопоставляется вполне определенное значение с помощью (и если) уже заданы значения для всех элементов предшествующих данному элементу. Грубо говоря, что нам ещё надо для задания функции? Ведь каждому элементу множества сопоставлен вполне конкретный элемент другого множества.
Фраза «если уже заданы значения для всех элементов предшествующих данному элементу» означает, что значение
искомой функции
на данном элементе
определяется некоторой конструкцией
по сужению
функции
на
. Стало быть, все, что у нас пока есть, — это условие на искомую функцию
, имеющее вид
. Проблема в том, что в равенстве
в правой части участвует символ
. Если бы его там не было, т.е. если бы было выражение вида
, то действительно каждому элементу
было бы сопоставлено «конкретное» множество
. Но при участии в правой части символа
это не «конкретное» множество, а множество, определяемое самой функцией
, существование которой нам еще предстоит доказать.
Поэтому изначально у нас нет конкретного «задания функции», у нас есть лишь условие на функцию. Рекурсивное. Не было бы рекурсии — было бы «задание»
. И тогда искомая функция возникла бы гораздо проще — сразу из аксиомы подстановки — как множество
.
Правильно ли я Вас понял, что функции
существуют до применения аксиомы подстановки, а вот множество
появляется только в результате аксиомы подстановки? Т. е. в данном случае совокупность уже существующих объектов является множеством только на основании аксиомы подстановки?
В общих чертах — да. Я не вчитывался в доказательство Френкеля, но думаю, идея там примерно такая. Сначала (трансфинитной индукцией) мы показываем, что для каждого
существует единственная определенная на
функция
такая, что
. По аксиоме подстановки существует множество
. Наконец, применяя аксиому объединения, получаем искомую функцию
. Кстати, эта идея повторяет себя на предельном индукционном шаге: доказательство существования
для предельного
проводится по той же схеме. Т.е. доказательство получается как бы фрактальным. (И кажется, Френкель, что-то там оптимизировал, чтобы не повторяться.)