Замкнутость пространства постоянной положительной кривизны

[sergey zhukov]

Пространство постоянной положительной кривизны обычно иллюстрируют на примере сферы, и у меня сложилось естественное впечатление, что такое пространство любой размерности всегда замкнуто и имеет конечный объем. Но если судить таким же образом по виду псевдосферы о пространстве постоянной отрицательной кривизны, то можно прийти к выводу, что такое пространство, во первых, должно иметь границу, а во вторых, каким-то странным образом не однородно и не изотропно. Это, конечно, просто эффект от попытки визуализировать такое пространство.

Иначе говоря, сфера и псевдосфера имеют постоянную положительную и отрицательную кривизну, при этом первая замкнута, а вторая имеет границу. Но вообще есть и другие пространства постоянной кривизны, просто поверхностями можно выразить только эти два типа. В том числе, возможно, есть пространство постоянной положительной кривизны и незамкнутое. А при переходе к пространствам большей размерности это кажется еще более вероятным.

Если не представлять себе, что поверхность постоянной положительной кривизны вложена в пространство более высокой размерности, то откуда следует, что такая поверхность вообще "сворачивается"? Скажем, иду я по земному шару, прошел уже весь экватор, вроде должен начать узнавать знакомые места, но ничего подобного. Сколько раз ни пройди вдоль экватора - местность не повторяется. Даже звездное небо все время разное. На шаре это, конечно, невозможно. А как насчет трехмерного пространства?

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1391538 писал(а):

Пространство постоянной положительной кривизны обычно иллюстрируют на примере сферы, и у меня сложилось естественное впечатление, что такое пространство любой размерности всегда замкнуто и имеет конечный объем.

Это так, если подразумевать риманову метрику. Такие пространства называются компактными.
Если метрика псевдориманова, то получаются некомпактные псевдосферы, похожие на гиперболоиды.

sergey zhukov в сообщении #1391538 писал(а):

Но если судить таким же образом по виду псевдосферы о пространстве постоянной отрицательной кривизны, то можно прийти к выводу, что такое пространство, во первых, должно иметь границу, а во вторых, каким-то странным образом не однородно и не изотропно.

Возможно, вы называете "псевдосферой" поверхность Бельтрами

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PseudoSphere.svg

Надо понимать, что это название намного больше заслуживает поверхность вида $x^\mu g_{\mu\nu} x^\nu=r^2$

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Hyperboloid2.png

или её верхняя половина (связная компонента). Там нет никаких границ, а если рассматривать её с индуцированной метрикой, то она также однородна и изотропна.

[g______d]

Munin в сообщении #1391552 писал(а):

Это так, если подразумевать риманову метрику. Такие пространства называются компактными.

О какой именно кривизне в данном случае идёт речь?

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1391538 писал(а):

В том числе, возможно, есть пространство постоянной положительной кривизны и незамкнутое.

Нет, только в том смысле, как если бы из сферы вырезали кусок, и отбросили бы его границу. Такой кусок в конечном счёте можно продолжить до полной сферы. То же касается и высших размерностей.

sergey zhukov в сообщении #1391538 писал(а):

Если не представлять себе, что поверхность постоянной положительной кривизны вложена в пространство более высокой размерности, то откуда следует, что такая поверхность вообще "сворачивается"?

Скажем, из теоремы Гаусса-Бонне (точнее, из неравенства Кон-Фоссена).

sergey zhukov в сообщении #1391538 писал(а):

Скажем, иду я по земному шару, прошел уже весь экватор, вроде должен начать узнавать знакомые места, но ничего подобного. Сколько раз ни пройди вдоль экватора - местность не повторяется. Даже звездное небо все время разное. На шаре это, конечно, невозможно. А как насчет трехмерного пространства?

В трёхмерном пространстве всюду постоянной положительной кривизны - тоже невозможно. Максимальное такое пространство - 3-сфера, типа $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=r^2.$

-- 07.05.2019 22:31:03 --

g______d в сообщении #1391556 писал(а):

О какой именно кривизне в данном случае идёт речь?

https://en.wikipedia.org/wiki/Constant_curvature

[sergey zhukov]

Хорошо, а если мы рассматриваем пространство не постоянной положительной кривизны? Что-то вроде сферической поверхности, которая на полюсе не совсем сходится. Например, поверхность, полученная вращением вокруг вертикальной оси вот такой фигуры:


Имеет ли какой-то смысл для полученной поверхности точка самопересечения? По этой точке поверхности распадаются на шарик с носиком и тарелку с носиком, или эта точка не имеет, так сказать, физического смысла, поверхность там гладко продолжается, и никакой особенности вроде бесконечной кривизны там нет? Я слышал, что бутылка Клейна, например, имеет самопересечения в трехмерном варианте, но не имеет их в четырехмерном. Может быть, подобная фигура в пространстве более высокой размерности существует и даже не имеет самопересечений?

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1391567 писал(а):

Хорошо, а если мы рассматриваем пространство не постоянной положительной кривизны?

Это пожалуйста.

Но надо сказать, что поверхности постоянной кривизны привлекают большее внимание математиков, поскольку они более симметричные. Например, у них большая группа симметрий. Которую можно построить и дальше изучать. Они задаются более простым уравнением (некоторые пространства вообще не задаются уравнениями).

sergey zhukov в сообщении #1391567 писал(а):

Имеет ли какой-то смысл для полученной поверхности точка самопересечения?

Смотря каким матаппаратом и как вы пользуетесь. Можно взять такой, что не будет иметь смысла, а можно такой, что будет.

sergey zhukov в сообщении #1391567 писал(а):

Я слышал, что бутылка Клейна, например, имеет самопересечения в трехмерном варианте, но не имеет их в четырехмерном.

У неё самопересечение другого типа - как пересечение двух плоскостей. А у вас - как вершина конуса.

sergey zhukov в сообщении #1391567 писал(а):

Может быть, подобная фигура в пространстве более высокой размерности существует и даже не имеет самопересечений?

Можно сделать другую фигуру в пространстве более высокой размерности - но ваша всегда будет иметь самопересечения.

Например, если в вашем рисунке сначала убрать самопересечение, переведя рисунок в трёхмерное пространство, а потом уже делать из него поверхность вращения - тогда можно получить поверхность без самопересечений в пространстве более высокой размерности (а можно даже и в трёхмерном).

[g______d]

Munin в сообщении #1391557 писал(а):

https://en.wikipedia.org/wiki/Constant_curvature

Да, спасибо, я сначала подумал про скалярную, а не про секционную.

Если секционная кривизна неотрицательна, но не обязательно постоянна, то многообразие не обязано быть компактным, но есть такая теорема, сложная:

https://en.wikipedia.org/wiki/Soul_theorem

[пианист]

Сори, не в тему написал ;(

[Eule_A]

sergey zhukov в сообщении #1391538 писал(а):

Но если судить таким же образом по виду псевдосферы о пространстве постоянной отрицательной кривизны, то можно прийти к выводу, что такое пространство, во первых, должно иметь границу

Псевдосфера имеет не границу, а "излом". Связано это с тем, что её метрические свойства существенно другие, чем у "обычного евклидова" пространства, в котором её пытаются изобразить. Есть три хорошо известные поверхности, иллюстрирующие эту идею: названная Вами псевдосфера Бельтрами, катушка Миндинга и волчок его же имени. Вот волчок и катушка границу как раз имеют (волчок и ещё одну особенность имеет - можете найти картинку и посмотреть). А вот у псевдосферы - только "ребро".

[Munin]

У самой по себе псевдосферы никаких "изломов" и "рёбер" вообще нет.

[Eule_A]

Если это возражение мне адресовано, то у меня всё достаточно чётко сказано. Отклоняю.

[Munin]

Недостаточно чётко. Нельзя применять слово "псевдосфера" как синоним "поверхности Бельтрами", хотя такое и встречается в литературе. Поскольку существуют и другие реализации псевдосферы различными поверхностями.

[sergey zhukov]

Eule_A в сообщении #1392082 писал(а):

Есть три хорошо известные поверхности, иллюстрирующие эту идею: названная Вами псевдосфера Бельтрами, катушка Миндинга и волчок его же имени.

Означает ли это, что для двумерного пространства постоянной отрицательной гауссовой кривизны существует по крайней мере три (ограниченных) вложения в трехмерное пространство? И если рассматривать ограниченные области этих пространств, то с точки зрения внутренней геометрии они оказываются неразличимы так же, как неразличимы плоскость, цилиндр и конус?

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1391538 писал(а):

Сколько раз ни пройди вдоль экватора - местность не повторяется. Даже звездное небо все время разное.

Не, не так. Проводим на сфере окружность с центром в данной точке радиуса $r$ и измеряем её длину. Пока $r$ мало, она почти равна $2 \pi r$. Постепенно увеличиваем $r$. Сначала длина окружности становится меньше $2 \pi r$, потом вообще перестаёт расти и начинает уменьшаться, потом уменьшается до нуля. Значит мы попали в противоположную точку сферы. Т.е. мы своими окружностями покрыли всю сферу, повторяться больше нечему: Куда ни пойдём, попадём в точку, которую уже картографировали.

[sergey zhukov]

Да, но изначально у меня была такая мысль, что пространство постоянной положительной кривизны может оказаться незамкнутым. Его обьем будет бесконечен. Знаете, примерно так: обходишь дерево по часовой стрелке, а тебе отрывается совершенно не тот вид, который ты должен был бы увидеть, если судить о виде по другую сторону ствола. Можно ходить вокруг дерева как угодно долго и так и не прийти в исходную точку. Даже дерево обойти невозможно, т.к. его ствол не повторяется.
Т.е. в таком пространстве, похоже, нельзя будет построить замкнутую сферу. Правда, в этом случае уже непонятно, в чем же тогда выражается положительная кривизна такого пространства.