Какой термин в математике лишний - "аксиома" или "теорема" ?

[axby]

Аксиома : если отрезок, разделённый точкой, развернуть на 180°, то порядок следования его частей поменяется местами, а длина не изменится.
Теорема : сложение коммутативно.
Императив : назовите причину, по которой над доказательствами формулировок, которые принято называть "аксиомами", запрещено думать ?

Аргумент "так завещал великий Гугл" как можно убедиться здесь не проходит.

[Mihr]

axby в сообщении #1391046 писал(а):

назовите причину, по которой над доказательствами формулировок, которые принято называть "аксиомами", запрещено думать

Думать всегда полезно. И никому не запрещается.

[Mikhail_K]

axby в сообщении #1391046 писал(а):

Аксиома : если отрезок, разделённый точкой, развернуть на 180°, то порядок следования его частей поменяется местами, а длина не изменится.
Теорема : сложение коммутативно.

Укажите, откуда Вы взяли данную аксиому и данную теорему. Из какой теории и в каком конкретно изложении.
(Может успеете, пока тему не перенесли в Пургаторий.)

axby в сообщении #1391046 писал(а):

назовите причину, по которой над доказательствами формулировок, которые принято называть "аксиомами", запрещено думать ?

Не запрещено. Тут ещё надо понимать, что в разных теориях одно и то же утверждение может быть как аксиомой, так и теоремой.
Например, знаменитая "аксиома параллельных" - она аксиома в геометрии Евклида, но в рамках линейной алгебры / аналитической геометрии она вполне себе теорема.
Тем не менее, в рамках одной конкретной теории нет смысла думать над доказательствами аксиом, поскольку таковые доказательства состоят из одного шага (ссылки на соответствующую аксиому).

[Anton_Peplov]

Добавлю, что совсем без аксиом обойтись не получится. Потому что логика не выводит следствия из ничего, она выводит следствия из посылок. То есть какие-то посылки в любом случае должны быть, иначе никаких утверждений доказать не удастся. Вот эти посылки и называются аксиомами.

Как упоминалось выше, можно выдумать много разных систем аксиом. Одно и то же утверждение в одной теории может быть аксиомой, а в другой - теоремой (а аксиомой будет какое-то другое, в первой теории, возможно, бывшее теоремой).

[arseniiv]

Mikhail_K в сообщении #1391048 писал(а):

Тем не менее, в рамках одной конкретной теории нет смысла думать над доказательствами аксиом, поскольку таковые доказательства состоят из одного шага (ссылки на соответствующую аксиому).

Тут можно уточнить, что имеет, но как правило только логикам: если в теории есть нетривиальное доказательство аксиомы (то есть не использующее её саму), то такая аксиома избыточна — теория без неё ничего не теряет, теоремы в новой усечённой теории ровно те же (это пояснения для ТС).

Но обычным людям минимизировать число аксиом теорий практически никогда не нужно: чтобы доказать что-то про саму теорию, её может быть полезно облегчить (но тут тоже средство средству рознь), а вот для того чтобы что-то доказывать, наоборот лучше побольше аксиом, особенно если те, которые выводятся из других, выводятся очень долго и муторно.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: поехали в профильный раздел.

[Someone]

Mikhail_K в сообщении #1391048 писал(а):

в разных теориях одно и то же утверждение может быть как аксиомой, так и теоремой.

И даже одну теорию можно аксиоматизировать разными способами, и утверждение, являющееся аксиомой в одной аксиоматизации, совершенно спокойно может быть теоремой в другой.

arseniiv в сообщении #1391053 писал(а):

если в теории есть нетривиальное доказательство аксиомы (то есть не использующее её саму), то такая аксиома избыточна — теория без неё ничего не теряет, теоремы в новой усечённой теории ровно те же <…> для того чтобы что-то доказывать, наоборот лучше побольше аксиом

И это тоже: аксиомы совершенно не обязательно должны быть независимыми, и может быть удобно иметь избыточные аксиомы, которые являются теоремами, но перечисляются в списке аксиом. К тому же, если в аксиоматике есть схемы аксиом, то попытка каким-то образом описать избыточные аксиомы в этих схемах может оказаться совершенно неконструктивной или вообще неосуществимой.