Задача от Geza Kos

[SiberianSemion]

Интересная задача из недавно проведенной студенческой олимпиады. Привожу условие дословно.

Даны $n$ различных комплексных чисел $a_1, \ldots, a_n \in Q = \{z \in \mathbb C\colon \operatorname{Im} z > 0, \operatorname{Re} z > 0\}.$ Определим функцию

$$f(z) = z \cdot \prod\limits_{k=1}^{n}\frac{z-a_k}{z-\overline{a_k}}.$$

Докажите, что $f'(z)$ имеет по крайней мере один корень в $Q.$