Длинные корни из двоек

[DrVirogov]

Определим множество$L$ "длинных корней из двоек" следующим образом:

$\sqrt{2} \in L; a \in L \Rightarrow \sqrt{2+a} \in L \wedge \sqrt{2-a}\in L$

Требуется доказать, что для любых различных $a, b \in L$ найдутся $x, y \in L$ такие, что

$a\cdot b = x + y$ или $a\cdot b = x - y$

и наоборот, для любых различных $x, y \in L$ можно найти подходящие $a, b \in L$

Вот несколько примеров для иллюстрации:

$\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}} = \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}} + \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

$\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} = \sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}}-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}}$

$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}=\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{2}}$

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}}+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}} $

[svv]

(Оффтоп)

Обозначим $r(\alpha)=2\cos\alpha$.
Тогда известные формулы для косинуса и синуса половинного угла можно переписать в виде
$\sqrt{2+r(\alpha)}=r(\frac{\alpha}2)$
$\sqrt{2-r(\alpha)}=r(\frac{\pi}2-\frac{\alpha}2)$

[DrVirogov]

svv в сообщении #1389477 писал(а):

(Оффтоп)

Обозначим $r(\alpha)=2\cos\alpha$.
Тогда известные формулы для косинуса и синуса половинного угла можно переписать в виде
$\sqrt{2+r(\alpha)}=r(\frac{\alpha}2)$
$\sqrt{2-r(\alpha)}=r(\frac{\pi}2-\frac{\alpha}2)$

(Оффтоп)

Осталось только добавить, что $\alpha =\frac{\pi}{2^{k+1}}$,где $k$ - количество радикалов.

[svv]

Чудесная задача.

[DrVirogov]

[quote="svv в сообщении #1389515"][/quote]

Спасибо.