Элементарная вероятность

[ИМХО]

В городе имеется N>1 жителей. У уждого жителя по 1 лотерейному билету. Каждый билет участвует в n розыгрышах, в каждом розыгрыше выигрывает только 1 билет.
При каком N=n имеется максимальная вероятность, что каждый билет выиграет?
Забавно.
И энтропия распределения при n от 2 до 1,9*10^16 хулиганит.

P.S. Это один из побочных результатов, но функция применима ко многим процессам, является удобным инструментом.
P.P.S. Или Эксель дурит, или ответ n=2 неправильный. Лучше решать через пределы.

[незваный гость]

ИМХО писал(а):

При каком N=n имеется максимальная вероятность, что каждый билет выиграет?

Вы имеете в виду "При каком $n = \text{функция}(N)$ или при каком N при участии в N розыгрышах максимальна вероятность выигрыша каждого?

[ИМХО]

незванный гость писал(а):

ИМХО писал(а):

При каком N=n имеется максимальная вероятность, что каждый билет выиграет?

Вы имеете в виду "При каком $n = \text{функция}(N)$ или при каком N при участии в N розыгрышах максимальна вероятность выигрыша каждого?

При каком N=n означает, что N равно n. К-во розыгрышей равно к-ву жителей. Кстати, и равно к-ву лотерейных билетов.
Вроде функция обозначается так: n(N)? Или так n=f(N)?

[Руст]

Эта вероятность равна $\frac{n!}{n^n}$. Естественно максимальное значение при n>1 есть n=2 и равно 1/2.

[ИМХО]

Руст писал(а):

Эта вероятность равна $\frac{n!}{n^n}$. Естественно максимальное значение при n>1 есть n=2 и равно 1/2.

Может, у кого другие мнения будут?

[ИМХО]

Руст писал(а):

Эта вероятность равна $\frac{n!}{n^n}$. Естественно максимальное значение при n>1 есть n=2 и равно 1/2.

Читайте внимательно условия.
1-(1-1/n)^n, для n=2 это 0,75
Для n=18002525946220100 это 0,86448621109326 (если Эксель не бузит). Дальше он считать не хочет

[Руст]

Да вы не умеете считать вероятность.
А если вас интересует максимальное значение выражения:
$1-(1-1/n)^n$,
то это тоже элементарно, так как функция монототонно растет при n>e и в пределе равно 1-1/e.

[ИМХО]

Руст писал(а):

Да вы не умеете считать вероятность.
А если вас интересует максимальное значение выражения:
$1-(1-1/n)^n$,
то это тоже элементарно, так как функция монототонно растет при n>e и в пределе равно 1-1/e.

Сейчас опять модер скажет, что я тему зафлеймил.
Ну почему хамство и знания обратно пропорциональны? Например,Вы - сразу ответственные заявления делаете.

Это не для Вас, а для тех, кто хотя бы элементарные знания имеет (Вы-то себя показали факториалом в числителе)
По аналогии - выход карт эквивалентен выигрышу билетов (надеюсь, сумеют подставить необходимые значения):

Вероятность выхода ЛЮБОГО из 13 номиналов карт (туз, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама, король) на первом ходу равна 1-(12/13)^1, или 0,07692.
Вероятность НЕВЫХОДА ЛЮБОГО из 13 номиналов карт на первом ходу равна 0,9231.
Вероятность выхода ЛЮБОГО из 13 номиналов карт на первом или втором ходу равна 1-(12/13)^2, или 0,1479.
Вероятность НЕВЫХОДА ЛЮБОГО из 13 номиналов карт на первом и втором ходу равна 0,8521….

Русту: Плиз, не утруждайте себя очередным хамством в этом топике. Постите только в том случае, если есть, что сказать.

[PAV]

Руст прав. Если имеется n билетов, проводится n лотерей и в каждой лотерее с равной вероятностью может выиграть любой билет, то вероятность того, что каждый билет выиграет по одному разу равна $\frac{n!}{n^n}$

Это не самая сложная задача по теории вероятностей.
Она обсуждалась в этом форуме здесь

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=1676

только в формулировке людей в лифте, которые должны выйти на разных этажах. Данная задача - частный случай, когда количество людей равно количеству этажей.

ИМХО, Вы могли бы непосредственно рассмотреть случай n=2 и понять, что Ваш ответ 0.75 неверен. Если имеется два билета и две лотереи, то возможны следующие 4 равновероятных исхода выигрышей: (1,1), (1,2), (2,1) и (2,2). Из них нам подходят 2 (второй и третий), так что вероятность равна 0.5, а не 0.75.

[PAV]

ИМХО писал(а):

Ну почему хамство и знания обратно пропорциональны?

Закон природы. Ничего не поделаешь. Есть еще один закон - степень невежества прямо пропорциональна степени уверенности в своей правоте и обратно пропорциональна умению признавать свои ошибки.

[ИМХО]

PAV писал(а):

Руст прав. Если имеется n билетов, проводится n лотерей и в каждой лотерее с равной вероятностью может выиграть любой билет, то вероятность того, что каждый билет выиграет по одному разу равна $\frac{n!}{n^n}$[/math]

А кто сказал, что РОВНО по одному разу? Вроде условия другие - каждый билет выиграет хотя бы один раз. Им никто не запрещает и n раз выиграть - билеты не изымаются из розыгрыша.

PAV писал(а):

ИМХО, Вы могли бы непосредственно рассмотреть случай n=2 и понять, что Ваш ответ 0.75 неверен. Если имеется два билета и две лотереи, то возможны следующие 4 равновероятных исхода выигрышей: (1,1), (1,2), (2,1) и (2,2). Из них нам подходят 2 (второй и третий), так что вероятность равна 0.5, а не 0.75.

Рассмотрел. Подходят 3 (второй, третий и четвертый)

[ИМХО]

PAV писал(а):

ИМХО писал(а):

Ну почему хамство и знания обратно пропорциональны?

Закон природы. Ничего не поделаешь. Есть еще один закон - степень невежества прямо пропорциональна степени уверенности в своей правоте и обратно пропорциональна умению признавать свои ошибки.

Посмотрим, применим ли этот закон к Вам - прочтите ВНИМАТЕЛЬНО условия. Там нет требования выигрыша ТОЛЬКО один раз.

[PAV]

Количество лотерей равно количеству билетов и равно количеству жителей. В каждой лотерее выигрывает ровно один билет. Если некоторый билет выиграет более одного раза, то некоторый выиграть не сможет.

В примере с n=2 в четвертом исходе оба раза выиграл билет 2. Первый не виграл ни разу.

[photon]

ИМХО писал(а):

А кто сказал, что РОВНО по одному разу? Вроде условия другие - каждый билет выиграет хотя бы один раз. Им никто не запрещает и n раз выиграть - билеты не изымаются из розыгрыша.

Если число розыгрышей равно число билетов, то случай, когда каждый билет выиграет хотя бы по одному разу реализуется тогда и только тогда, когда каждый билет выиграет ровно по одному разу.
Дописал: Ой, пока писал, PAV ответил -- Great minds think alike

[Руст]

Ошибся сказав, что ваша величина монотонно растёт (из-за ваших неправильных расчётов), на самом деле монотонно убывает начиная с n>1.