2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 16:35 
Аватара пользователя


08/07/15
127
Добрый день.
Прошу проверить моё решение.

При каких $p, n$ многочлен $x^{2n}+x^n+1$ неприводим над $F_{p^n}$.
Существует последовательность изоморфизмов тождественно действующая на $F_{p^n}$:
$F_{p^n} [x] \to F_{p^n} [x^n] \to F_{p^n} [y]$. Действие данного изоморфизма на переменных и на многочлене:
$x \to x^n \to y$;
$x^{2n}+x^n+1 \to y^2+y+1$.

Тогда $x^{2n}+x^n+1$ неприводим над $F_{p^n}[x]$ титтк $y^2+y+1$ неприводим над $F_{p^n} [y]$.

$y^2+y+1 = (y- \frac{-1+\sqrt{-3}}{2})(y- \frac{-1-\sqrt{-3}}{2})$.
Поэтому, во первых, $y^2+y+1$ неприводим в конечных полях характеристики $2$ и $3$. Для остальных простых $p$ $y^2+y+1$ приводим в $F_p$ титтк $-3$ - квадратичный вычет по модулю $p$. Если же нет, то многочлен поиводим в $F_{p^n}$ при $n > 1$ : поскольку $\mathrm{deg} F_p (\sqrt{-3}) / F_p = 2$, а все конечные поля определены степенью с т.д. изоморфизма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 18:30 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Duelist в сообщении #1389192 писал(а):
Существует последовательность изоморфизмов тождественно действующая на $F_{p^n}$:
$F_{p^n} [x] \to F_{p^n} [x^n] \to F_{p^n} [y]$. Действие данного изоморфизма на переменных и на многочлене:
$x \to x^n \to y$;

Первая стрелка не переводит сумму в сумму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 19:00 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Duelist в сообщении #1389192 писал(а):
Если же нет, то многочлен приводим в $F_{p^n}$ при $n > 1$
Уж не считаете ли Вы, что $\mathbb{F}_{p^2} \subset \mathbb{F}_{p^n}$ при $n>1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 19:04 
Аватара пользователя


08/07/15
127
iou в сообщении #1389207 писал(а):
Первая стрелка не переводит сумму в сумму.

Почему? Это же конкретно универсальная (начальная) стрелка свободной моноидной алгебры. В одном случае базис это: $1, x, x^2...$, во втором: $1, x^n, (x^n)^2...$. Вообще, $A[x_1, \dots x_n]$ изоморфно $A[t_1 \dots t_n]$, если $t_1,\dots t_n$ алгебраически независимы над $A$. В данном случае у нас с двух сторон одна такая переменная.

-- 24.04.2019, 19:08 --

nnosipov
Нет. Случайно не заметил. $n$ должно делиться на $2$. Спасибо, что обратили внимание.

-- 24.04.2019, 19:50 --

А, ну там в стрелке ошибка в ином смысле: она не так действует на многочлене, как я хотел.
Надо по-другому придумать.

-- 24.04.2019, 19:50 --

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 19:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Duelist в сообщении #1389192 писал(а):
Тогда $x^{2n}+x^n+1$ неприводим над $F_{p^n}[x]$ титтк $y^2+y+1$ неприводим над $F_{p^n} [y]$.
А давайте проверим это утверждение при $n=2$. Это во-первых. Во-вторых: заменим в этом утверждении многочлен $y^2+y+1$ на $y-1$ и, соответственно, многочлен $x^{2n}+x^n+1$ на $x^n-1$ (Ваше доказательство ведь не привязано именно к многочлену $y^2+y+1$). Что станет с утверждением?

-- Ср апр 24, 2019 23:51:32 --

Duelist в сообщении #1389210 писал(а):
Надо по-другому придумать.
Ага, уже поняли, что что-то не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 19:52 
Аватара пользователя


08/07/15
127
nnosipov
Да. Я уже понял ошибку. Написал выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 21:51 
Аватара пользователя


08/07/15
127
Другой подход.

$x^{3k}-1$ делится на $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$ поэтому всякий многочлен вида $x^{3k}-1$ делится на $x^2+x+1 = g$.

Отсюда из того, что $f = x^{2n}+x^n+1 = (x^{2n}-x^2) + (x^n-x)+x^2+x+1,$ получаем, что $f$ делится на $g$ при $n=1 \mod 3$ и тогда приводим.

$f=(x^{2n}-x) + (x^n-x^2)+x^2+x+1$, отсюда получаем, что при $n = 2 \mod 3$, $f$ делится на $g$ и приводим.

Если $n=3k$, то получаем, что $f=x^{6k}+x^{3k}-3=x^m (x^2+1)-3.$
Отсюда ясно, что $f$ при $n=0 \mod 3$ приводим при характеристике $3$.

Ясно, что теперь осталось рассматривать случаи $n = 0 \mod 3$. Но больше серьёзного ничего в голову к вечеру не приходит. Просьба помочь с дальнейшими рассуждениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 22:35 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Duelist в сообщении #1389244 писал(а):
Просьба помочь с дальнейшими рассуждениями.
Рассмотрите два случая: 1) $n$ не является степенью тройки; 2) $n$ --- степень тройки. Первый случай Вы фактически разобрали, а во втором можно вспомнить про круговые многочлены.

А откуда задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 22:48 
Аватара пользователя


08/07/15
127
Ну ок, я тогда чуть отложу, потому что как раз до следующего четверга собирась вспоминать и изучать новое про круговые многочлены, а точнее про всё, что касается расширений Галуа. По Ленгу.
nnosipov в сообщении #1389258 писал(а):
А откуда задача?

Листок НМУ. 1 курс, 2 семестр (текущий).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Как я понимаю, задачи на листках не обязательно дорешивать до конца, особенно с первой попытки. После обсуждения с преподавателем, вторая попытка может быть успешной. Или не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение25.04.2019, 00:14 
Аватара пользователя


08/07/15
127
Munin
Общий порядок во многом зависит от преподавателя, а процесс сдачи задач - от проверяющего (одним из которых является преподаватель).
Обычно, конечно, все задачи из листков сдавать не требуется, а к жёсткому сроку - тем более.
И обычно и пятая попытка м.б. успешной.
Что касается помощи - это по-разному. Иногда очень даже. А бывает, приходится в нагрузку доказывать используемые теоремы.
В прошлом семестре я вообще мало сдал в течение семестра, хотя решил достаточно и решения лежали дома. Я досдал необходимое кол-во в специально выделенный день уже после экзамена.
Но в этом семестре требуется больше бдительности в этих вопросах: например, листков и задач меньше, поэтому лучше прорешать почти всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение25.04.2019, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Duelist в сообщении #1389275 писал(а):
например, листков и задач меньше

Это может быть скомпенсировано тем, что они труднее и объёмнее. Впрочем, вам видней (а вашим преподавателям - тем более).

Успехов!

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение25.04.2019, 00:28 
Аватара пользователя


08/07/15
127
Munin в сообщении #1389278 писал(а):
Успехов

Большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение25.04.2019, 01:33 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Duelist в сообщении #1389192 писал(а):
Поэтому, во первых, $y^2+y+1$ неприводим в конечных полях характеристики $2$ и $3$.
Отнюдь. Бывает всяко. Читая книжки (не обязательно только Ленга, я бы еще советовал ван дер Вардена и Калужнина), полезно прежде всего иметь в виду этот вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочленов над конечными полями.
Сообщение25.04.2019, 02:42 
Аватара пользователя


08/07/15
127
vpb
Да уж, это была заведомая глупость, потому что у всякого поля есть алгебраическое замыкание, а в нём поле разложения, порождённое корнями многочлена. Получаемое конечно порождённое алгебраическое расширение - конечное, и оно у нас над конечным полем, значит и само конечно как поле. А характеристика та же.

vpb в сообщении #1389284 писал(а):
Читая книжки (не обязательно только Ленга, я бы еще советовал ван дер Вардена и Калужнина),

Про Калужнина не знал, спасибо. Посмотрю. Много полезного можно найти в книгах помимо "настольной". Мне бы ещё теорию чисел хотелось бы очень изучать. Думал начать с "Алгебраических чисел" Ленга или "Арифметики" Серра. Но, видимо, пока даже летом времени не найду, так как надо будет ещё много ботать анализа и алг. топологии. Через год, видимо, только.

А сейчас времени тем более совсем мало на всё.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group