2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Про многочлены над конечными полями.
Сообщение23.04.2019, 19:29 
Аватара пользователя


08/07/15
127
Добрый день. Решаю задачу, но к стыду не успешно. Просьба, помочь.
Пусть задан фиксированный многочлен $f(x)= ax^2+bx+c$ $\in Z[x]$ мне нужно установить бесконечность простых $p$, таких что $f(x)$ разлагается на линейные множители над $\mathrm{F_p}=Z/pZ$.
У меня было две мысли. Первая. Разделить с остатком $f(x)$ на все $x-u,$ $u \in Z$. Получим счётное мн-во представлений $f(x)=(x-u)q(x)+r_u$ и тогда достаточно показать, что $r_u = 0 (\mod p)$ для бесконечного кол-ва $(u;p)$. Это равносильно тому, что все значения $f$ на $Z$ не лежат ни в каком мультипликативном подмн-ве $Z$, порождённом конечным количеством простых чисел. Иными словами, значения многочлена $f(x)$ на $Z$ имеют бесконечное кол-во простых делителей.

Вторая мысль связана с тем, чтобы показать, что $b^2-4ac$ будет квадратичным вычетом по модулю бесконечного кол-ва простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про многочлены над конечными полями.
Сообщение23.04.2019, 20:25 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Duelist
Обе мысли правильные. Первая проще (совсем элементарные рассуждения, верно для любого многочлена и даже квази-многочлена), а по поводу второй --- вспомните про квадратичный закон взаимности (лучше сразу для символа Якоби).

 Профиль  
                  
 
 Re: Про многочлены над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 00:31 
Аватара пользователя


08/07/15
127
nnosipov

Я всё же, к сожалению, не вижу того элементарного рассуждения.
Если по индукции, ясно, что значения многочленов с нулевым свободным членом могут делиться на все простые числа. Предположим это верно, когда свободный член $c$ меньше $n$. Рассмотрим $f(x)$ со свободным членом $c+1...$
Ну получаем мн-во значений $f$, порождаемое бесконечным количеством простых чисел и ставим ему в соответствие то же множество со сдвигом на единицу. Оно вроде тоже должно делиться на бесконечное мн-во простых чисел. Хотя, строго не доказал. Или Вы другое рассуждение имели в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про многочлены над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 02:05 
Аватара пользователя


08/07/15
127
nnosipov
А, до меня, кажется, дошло.
Пусть свободный член $c$ не делится ни на какой элемент мультипликативного подмн-ва $S$, порождаемомго конечным мн-вом простых чисел, к которому принадлежат все значения $f$ на $Z$. Тогда достаточно взять значение $f$ на произведении всех простых чисел из $S$.
Если же $c$ делится на $p \in S$, то возьмём значение $f$ на произведении всех простых чисел из $S$ в одинаковых степенях, больших чем максимальная степень, в которой в входят в разложение $c$ какие-либо эл-ты из $S$. Обозначим данное произведение $T$. Тогда $(f-c)(T) + c = f(T) \in S$. Причём в $f(T)$ также обязательно должен быть эл-т из $S$ в степени, большей чем в $c$ из соображений нормированности.Теперь сокращая обе части на произведение эл-тов $S$ в $c$ в их степенях, получим противоречие по делимости.
Так правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про многочлены над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 03:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Duelist в сообщении #1389090 писал(а):
Так правильно?
Ну, наверное (все необходимые ингредиенты вроде бы присутствуют, а в детали я не вдавался). Здесь идея Евклида (та, с помощью которой доказывается бесконечность множества простых чисел) работает. Технически можно упростить, сведя к случаю многочлена со свободным коэффициентом $1$. Но это все мелочи, дело вкуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про многочлены над конечными полями.
Сообщение24.04.2019, 03:25 
Аватара пользователя


08/07/15
127
nnosipov
Спасибо.
Комп умер, с мобильника в муках набираю. Так бы я подробнее и "культурнее" написал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group