2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тригонометрическое тождество
Сообщение17.04.2019, 07:53 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Докажите, что при нечётном $N$
$$
\sum_{j=0}^{N-1} j\tg{\frac{\pi j}{N}}=\frac{N}{2}\sum_{j=1}^{N-1} (-1)^j\ctg{\frac{\pi j}{N}}.
$$
P.S. Можно и в такой форме:
$$
\sum_{j=0}^{N-1} j^2\tg{\frac{\pi j}{N}}=\frac{N^2}{2}\sum_{j=1}^{N-1} (-1)^j\ctg{\frac{\pi j}{N}}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое тождество
Сообщение17.04.2019, 08:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
$tg0=0$, поэтому справа суммирование можно начать с 1 (как и слева).
Далее $$\sum_{j=1}^{N-1}j^ktg\frac{\pi j}{N}=\frac 12 \sum_{j=1}^{N-1}tg\frac{\pi j}{N}(j^k-(N-j)^k}.$$
Здесь учли, что $\tg(\pi -x)=-\tg(x)$.
Суммирования по тангенцам соответствует суммирование с изменениями знаков по котангенцам (сумма из тех же членов с перестановкой мест). Это приводит к нужным формулам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое тождество
Сообщение17.04.2019, 08:57 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Руст в сообщении #1388196 писал(а):
Суммирования по тангенцам соответствует суммирование с изменениями знаков по котангенцам (сумма из тех же членов с перестановкой мест). Это приводит к нужным формулам.
Да, эти две формулы эквивалентны, это почти очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое тождество
Сообщение18.04.2019, 19:48 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Руст в сообщении #1388196 писал(а):
Суммирования по тангенцам соответствует суммирование с изменениями знаков по котангенцам (сумма из тех же членов с перестановкой мест).
Эту фразу я пропустил при первом чтении, но сейчас все равно не понимаю: есть ряд чисел (тангенсов), мы берем ряд обратных чисел (котангенсов), как он может получиться из исходного ряда перестановкой?

Все-таки одно из предлагаемых тождеств надо доказать честно (второе тождество бесплатно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое тождество
Сообщение22.04.2019, 05:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
С помощью $2\ctg(2x)=\ctg(x)-\tg(x)$ для нечетного $k<N$ получаем
$$
k\tg{\left(\frac{\pi k}{N}} \right)+2 \cdot k\tg{\left( 2 \cdot \frac{\pi k}{N}}\right)+ \dots 
+2^{\alpha_k} \cdot k\tg{\left( 2^{\alpha_k}  \cdot \frac{\pi k}{N}}\right)
=k\ctg{\left(\frac{\pi k}{N}} \right)- 2^{\alpha_k+1} \cdot k\ctg{\left( 2^{\alpha_k+1}  \cdot \frac{\pi k}{N}}\right),
$$
где $1 \le 2^{\alpha_k+1} \cdot k - N < N$

Суммируем по всем нечетным $k < N$:
$$
\sum_{j=1}^{N-1} j\tg{\frac{\pi j}{N}}=-N\sum_{k}} \ctg{\frac{\pi k}{N}}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое тождество
Сообщение22.04.2019, 20:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
TOTAL
Не понятно, как суммирование правых частей по нечетным $k$ приведет к тому, что написано в правой части последнего равенства. Нельзя ли это изложить подробнее? (Ну, как бы времени не очень много для разгадывания ребусов :oops: )

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое тождество
Сообщение23.04.2019, 06:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
nnosipov в сообщении #1388964 писал(а):
Не понятно, как суммирование правых частей по нечетным $k$ приведет к тому, что написано в правой части последнего равенства.


$k$ - все нечетные меньше $N$
$\left( 2^{\alpha_k+1} \cdot k - N \right)$ - тоже все нечетные меньше $N$

Запишем правые части для нечетных $p$ и $k=2^{\alpha_p+1} \cdot p - N$

$$
p\ctg{\left(\frac{\pi p}{N}} \right)- 2^{\alpha_p+1} \cdot p\ctg{\left( 2^{\alpha_p+1}  \cdot \frac{\pi p}{N}}\right)=
p\ctg{\left(\frac{\pi p}{N}} \right)- \underbrace{ (k+N)\ctg{\left(\frac{\pi (k+N)}{N}}\right) },
$$
$$
\underbrace{  k\ctg{\left(\frac{\pi k}{N}} \right)  }- 2^{\alpha_k+1} \cdot k\ctg{\left( 2^{\alpha_k+1}  \cdot \frac{\pi k}{N}}\right),
$$

Вот так попарно приведет к тому, что написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое тождество
Сообщение23.04.2019, 07:35 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
TOTAL в сообщении #1388989 писал(а):
Вот так попарно приведет к тому, что написано.
Неожиданное решение, показывающее, что можно обойтись без "распиливания" слагаемых. Оригинальное решение приведено в статье "О вычислении конечных тригонометрических сумм" (Математическое просвещение, вып. 23, 2019).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group