Декартово произведение множеств

[eanmos]

Декартово произведение множеств $A$ и $B$ — это множество всех упорядоченных пар $(a, b) \text{ где } a \in A \text{ и } b \in B$. Почему именно упорядоченных?

Допустим, $A = \{1, 2\}, B = \{a\}$, тогда $A \times B = \{(1, a), (2, a)\}$. Правильно ли я понимаю, что если бы декартово произведение определялось как множество всех неупорядоченных пар, то

$$A \times B = \{(1, a), (a, 1), (2, a), (a, 2)\}.$$

Т. е. в чем смысл слова упорядоченных в этом определении?

[iifat]

В данном случае — никак бы не изменилось. Вот если б, например, множества совпадали, была бы разница. Но, кстати говоря, не такая.

eanmos в сообщении #1388714 писал(а):

в чем смысл слова упорядоченных

Смысл слова «упорядоченных» в том, что рассматриваются упорядоченные пары. Неожиданно, правда?

[Pphantom]

eanmos в сообщении #1388714 писал(а):

Правильно ли я понимаю

Нет. В таком множестве было бы два элемента, поскольку перестановка элементов в паре не меняла бы ее.

eanmos в сообщении #1388714 писал(а):

Т. е. в чем смысл слова упорядоченных в этом определении?

Посмотрите, что будет получаться для множеств $A = \{1,2\}$, $B = \{1,2,3\}$ при наличии или при отсутствии этого слова в определении.

[arseniiv]

Надо добавить, что неупорядоченные пары круглыми скобками обозначать не принято. Неупорядоченная пара $\{a,b\}$ — это просто множество, включающее только $a$ и $b$, потому какие-то другие скобки для них использовать — лишнее.

[eanmos]

Т. е. если $A = \{1, 2\}$ и рассматриваются упорядоченные пары, то $A \times A = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$, а если рассматриваются неупорядоченные пары, то $A \times A = \{\{1, 1\}, \{1, 2\}, \{2, 2\}\}$?

[svv]

Декартово произведение — это множество упорядоченных пар.
Это неупорядоченное множество упорядоченных пар.

[Dragon27]

Одно из ключевых свойств произведения (множеств) - это функций (проекций), которая каждому элементу произведения сопоставляет один элемент из первого множества и второго множества, причём так, что если мы выберем по элементу из первого и второго множества, мы можем указать уникальный элемент произведения множества, проекции которого на первое и второе множество дают, соответственно, выбранные нами элементы. Упорядоченность пары - это просто способ указать какому множеству соответствует каждый элемент пары (первый первому, второй второму). Можно точно так же просто взять пару элементов и к каждому из них прицепить индекс.
Если множества разные и не пересекаются, то, разумеется, несложно отличить какой элемент в паре какому множеству принадлежит, но если каждый элемент в паре мог быть взят из любого множества, то нам нужен способ узнать это.

[arseniiv]

eanmos в сообщении #1388722 писал(а):

Т. е. если $A = \{1, 2\}$ и рассматриваются упорядоченные пары, то $A \times A = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$, а если рассматриваются неупорядоченные пары, то $A \times A = \{\{1, 1\}, \{1, 2\}, \{2, 2\}\}$?

Притом ещё стоит иметь в виду, что $\{1,1\}$ обозначает то же самое что и просто $\{1\}$ или $\{1,1,1,1,1\}$.

-- Сб апр 20, 2019 18:48:02 --

Ну, за вычетом того, что то второе «$\times$» надо обозначать каким-то другим значком и важных применений у него не найдётся.

[Munin]

Множество неупорядоченных пар можно построить из множества упорядоченных пар. На парах вводится отношение эквивалентности $(a,b)\sim(b,a).$ Тогда $A\times_{\scriptscriptstyle \sim}B=A\times B/\sim.$

Легко заметить, что $A\times_{\scriptscriptstyle \sim}B\ne A\times B$ тогда и только тогда, когда $A\cap B\ne\varnothing.$

Для начинающих, легче всего представить себе декартово произведение дискретных множеств как таблицу, а декартово произведение непрерывных множеств - как часть координатной плоскости. В таком случае, множество неупорядоченных пар получается, если "сложить пополам" координатную плоскость по диагонали, и не различать между собой те точки, которые наложатся. Например, $[0,1]\times[0,1]$ будет квадрат, а $[0,1]\times_{\scriptscriptstyle \sim}[0,1]$ - треугольник.

(В этом сообщении везде используется "неточный" смысл равенства.)

[arseniiv]

Скорее не треугольник, а квадрат со склейкой точек, симметричных относительно диагонали. Что навело меня на мысль, что

arseniiv в сообщении #1388727 писал(а):

важных применений у него не найдётся

чуточку неверно: можно было бы определять симметричные отношения через эту штуку. Но не нужно, потому что интероперация с остальными отношениями будет ужасна, да и аналога этой конструкции для антисимметричных отношений уже не сделать.

[waxtep]

Возможно, так же полезно вспомнить определение упорядоченной пары на языке теории множеств - $(a,b)=\{a,\{a,b\}\}$ (в то время как неупорядоченная пара это просто множество $\{a,b\}$). Даже если $a=b$ эти штуки будут совсем разными

[Munin]

Нет, полезно предупредить, что на языке теории множеств существует много разных реализаций упорядоченной пары.

[arseniiv]

Да, упорядоченная пара — это какая угодно штука $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$, удовлетворяющяя соотношению $(x,y) = (x',y') \Rightarrow x = x'\wedge y = y'$. (Если же определять сразу прямое произведение, а не отдельно пары, лучше по-категорному с проекциями как упоминалось у Dragon27.) Если бы при развитии теории множеств не нашлось бы приемлемой в других отношениях теории, в которой существуют упорядоченные пары, пришлось бы их добавлять в язык как отдельное неопределяемое понятие. То же можно сказать и о некоторых других кубиках, из которых собираются элементарные математические конструкции — натуральные числа, произвольные кортежи и последовательности, функции, отношения и т. п.; оказалось, всё это подвластно выражению через одну только принадлежность в достаточно богатой теории типа той же ZFC.