Топология слоений

[bayak]

Будет ли отличаться слоение, которое задано системой из двух замкнутых форм

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \omega_1&=x_1\mathrm{d}x_1 + x_2\mathrm{d}x_2& \\ \omega_2&=x_3\mathrm{d}x_3 + x_4\mathrm{d}x_4& \\ \end{array} \right.$$

от слоения, заданного их суммой и разностью

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \omega'_1&=\omega_1 + \omega_2& \\ \omega'_2&=\omega_1 - \omega_2& \\ \end{array} \right.$$

Насколько я понимаю, в первом случае типичный слой слоения это тор $S^1\times S^1$, а во втором - пересечение сферы $S^3$ и гиперсферы пространства с нейтральной метрикой.

Если судить по алгебре линейных векторных полей, которые порождаются этими формами, то это всё же разные слоения.

В самом деле, генераторы алгебры (т.е. линейные векторные поля, аннулирующие эти формы) в первом случае порождают алгебру $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$, а во втором - матричную алгебру $M_2(\mathbb{C})$.

[svv]

bayak, оба слоения совпадают.
Может, Вы не учли, что надо рассматривать только такие векторные поля, которые аннулируют сразу обе формы?
Поле $X$, аннулирующее $\omega_1$ и $\omega_2$ одновременно, будет аннулировать также $\omega_1\pm\omega_2$, и наоборот.

Не прибегая к построению векторных полей, можно проверить, что ограничение каждой из форм $\omega'_1, \omega'_2$ на аннулятор набора $\{\omega_1, \omega_2\}$ (и наоборот) есть нуль:
$\omega'_1\wedge\omega_1\wedge\omega_2=0$
$\omega'_2\wedge\omega_1\wedge\omega_2=0$

Можно просто записать явно уравнения слоёв в каждом случае, например,
$\begin{cases}x_1^2+x_2^2=C^2_1\\x_3^2+x_4^2=C^2_2\end{cases}$
И увидеть, что слои одни и те же, с точностью до параметризации.

[bayak]

svv в сообщении #1387944 писал(а):

Может, Вы не учли, что надо рассматривать только такие векторные поля, которые аннулируют сразу обе формы?

Да, не учёл. Спасибо Вам за науку.

Итак, в итоге получаем замечательное следствие - матричной алгебре Дирака соответствует слоение в $\mathbb{R}^8$ с типичным слоем $S^1\times S^1\times S^1\times S^1$.

[bayak]

Хорошо, забудем о слоениях. Пусть у нас имеется система 1-форм

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \omega_1&=x_1\mathrm{d}x_1 + x_2\mathrm{d}x_2& \\ \omega_2&=x_3\mathrm{d}x_3 + x_4\mathrm{d}x_4& \\ \omega_3&=x_4\mathrm{d}x_1 + x_3\mathrm{d}x_2& \\ \omega_4&=x_2\mathrm{d}x_3 + x_1\mathrm{d}x_4& \\ \end{array} \right.$$

Что можно сказать об этой системе? Алгебра Ли линейных векторных полей, аннулирующих эту систему, изоморфна $sl_2(\mathbb{C})$. Можно ли сказать, что это алгебра вращений в $\mathbb{R}^4$? Кстати, в предыдущем посте я глупость сказал про слоение, которое соответствует матричной алгебре Дирака. Скорее уж ей соответствуют вращения в $\mathbb{R}^8$.

Для наглядности стоит добавить, что в этом формализме легко записать систему 1-форм или векторных полей, которые соответствуют вращениям в $\mathbb{R}^3$ и порождают алгебру Ли $su(2)$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \omega_1&=x_1\mathrm{d}x_1 + x_2\mathrm{d}x_2& \\ \omega_2&=x_2\mathrm{d}x_2 + x_3\mathrm{d}x_3& \\ \omega_3&=x_1\mathrm{d}x_1 + x_3\mathrm{d}x_3& \\ \end{array} \right.$$

[bayak]

bayak в сообщении #1388270 писал(а):

Хорошо, забудем о слоениях. Пусть у нас имеется система 1-форм

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \omega_1&=x_1\mathrm{d}x_1 + x_2\mathrm{d}x_2& \\ \omega_2&=x_3\mathrm{d}x_3 + x_4\mathrm{d}x_4& \\ \omega_3&=x_4\mathrm{d}x_1 + x_3\mathrm{d}x_2& \\ \omega_4&=x_2\mathrm{d}x_3 + x_1\mathrm{d}x_4& \\ \end{array} \right.$$

Кстати, эта система эквивалентна системе дифференциалов квадратичных метрических функций евклидова пространства и трёх возможных пространств с нейтральной метрикой, поэтому здесь можно вести речь не только о вращениях, но и о движениях в этих пространствах.

[svv]

bayak в сообщении #1388270 писал(а):

Алгебра Ли линейных векторных полей, аннулирующих эту систему

Простите, Вы говорите о таких векторных полях, которые аннулируют сразу все четыре формы? Так ведь эти формы линейно независимы: в любой точке, где $x_1x_3\neq x_2x_4$, они образуют базис (проверка: $\omega_1\wedge\omega_2\wedge\omega_3\wedge\omega_4\neq 0$). Размерность аннулятора нуль. Их всех вместе только нулевое векторное поле аннулирует.

Вот в первоначальном Вашем примере векторные поля, аннулирующие каждую из форм $\omega_1, \omega_2$, запросто можно было предъявить. Это, например, $x_2\partial_1-x_1\partial_2$ и $x_4\partial_3-x_3\partial_4$. Тут размерность аннулятора 2. Эти два векторных поля линейно независимы, а все другие поля, аннулирующие каждую из форм, будут их линейными комбинациями.

Может, я не учитываю какой-то комплексной специфики? Если комплексность тут существенна, лучше попросить помощи у других участников.

[bayak]

svv в сообщении #1388345 писал(а):

Может, я не учитываю какой-то комплексной специфики? Если комплексность тут существенна, лучше попросить помощи у других участников.

Специфика тут в другом. Не знаю как это называется, но тут надо различать совместную и несовместную систему дифференциальных форм, то есть вы рассматриваете векторные поля, аннулирующие все формы, а я хотел бы рассмотреть все векторные поля, аннулирующие одну из дифференциальных форм системы. Кстати, может быть существует специальное обозначение для таких систем, например перевёрнутая фигурная скобка?

[arseniiv]

bayak в сообщении #1388474 писал(а):

Кстати, может быть существует специальное обозначение для таких систем, например перевёрнутая фигурная скобка?

В моё время в школе использовали квадратную скобку (всё так же открывающую) и звали эту штуку «совокупность» вместо «система». А вот использовать слова совместная и несовместная не надо, они обозначают наличие решений.

[g______d]

bayak в сообщении #1388474 писал(а):

рассмотреть все векторные поля, аннулирующие одну из дифференциальных форм системы

Это даже линейным пространством не является, не то что там алгеброй.

[bayak]

g______d, я, конечно, уже много глупостей понаписываал, но тут Вы не правы. Достаточно взять несовместную систему дифференциальных форм квадратичной метрической функции евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей и мы легко получим алгебру линейных векторных полей, изоморфную матричной алгебре M_2($\mathbb{R})$. Аналогично получается и с несовместной системой дифференциальных форм квадратичной метрической функции 4-мерного евклидова пространства и трёх возможных пространств с нейтральной метрикой, то есть в результате получим алгебру линейных векторных полей, которая изоморфна M_2($\mathbb{C})$.

[g______d]

bayak в сообщении #1388495 писал(а):

Достаточно взять несовместную систему дифференциальных форм квадратичной метрической функции евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей и мы легко получим алгебру линейных векторных полей, изоморфную матричной алгебре M_2($\mathbb{R})$. Аналогично получается и с несовместной системой дифференциальных форм квадратичной метрической функции 4-мерного евклидова пространства и трёх возможных пространств с нейтральной метрикой, то есть в результате получим алгебру линейных векторных полей, которая изоморфна M_2($\mathbb{C})$.

Формулы напишите, максимально конкретно.

Если заданный набор форм линейно независим хотя бы в одной точке, то "множество векторных полей, аннулирующих хотя бы одну форму из заданного набора" никогда не является векторным пространством, это несложное упражнение. А если условие линейной независимости не выполняется, то одну из форм можно выкинуть, ничего не поменяв.

[bayak]

g______d, Вы правы. Я не аккуратно выразился, имелось в виду, что существует такой набор генераторов, где всякий генератор алгебры векторных полей аннулирует хотя бы одну форму совокупности.

[svv]

При таком условии у Вас набор дифференциальных форм и набор векторных полей будут очень слабо связаны.

Поясню на примере. Пусть в $\mathbb R^4$ дан набор векторных полей $\{\partial_1, \partial_2, \partial_3, \partial_4\}$ (здесь $\partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}$, и $(x^i)$ — кооординаты).
Каждому векторному полю сопоставим одну дифференциальную форму и потребуем, чтобы поле аннулировало эту форму.
Например, для $\partial_1$ такой формой будет $c_2(x) dx^2+c_3(x) dx^3+c_4(x) dx^4$. То есть почти произвольная 1-форма, с единственным требованием: в разложении $c_idx^i$ коэффициент $c_1=0$. Условие «каждое векторное поле из набора полей аннулирует хотя бы одну форму из набора форм» будет соблюдено.

Наоборот, пусть дан набор форм $\{dx^1, dx^2, dx^3, dx^4\}$.
Сопоставим ему набор векторных полей из одного ненулевого поля $Y(x)=a^2(x)\partial_2+a^3(x)\partial_3+a^4(x)\partial_4$. Это поле аннулирует $dx^1$, поэтому опять «каждое векторное поле из набора полей аннулирует хотя бы одну форму из набора форм». Одномерное векторное пространство полей вида $cY(x)$, где $c$ константа, образует алгебру Ли, в которой $Y(x)$ составляет базис.

[VanD]

bayak в сообщении #1388602 писал(а):

Я не аккуратно выразился, имелось в виду, что существует такой набор генераторов, где всякий генератор алгебры векторных полей аннулирует хотя бы одну форму совокупности.

Первые две формы из четырёх выписанных позволяют брать в качестве генераторов произвольные поля вида $v^3(x^1, x^2, x^3, x^4)\partial_{x^3} + v^4(x^1, x^2, x^3, x^4)\partial_{x^4}$ и $v^1(x^1, x^2, x^3, x^4)\partial_{x^1} + v^2(x^1, x^2, x^3, x^4)\partial_{x^2}$, то есть Вы уже двумя формами сгенерировали всё, что только можно было пожелать. Или Вы буквально имели в виду, что рассматриваются сразу все алгебры Ли, в которых есть базисы из полей, аннулирующих кого-нибудь из списка?

[bayak]

svv, VanD, вы меня запутали окончательно. Во-первых, у меня речь идёт о линейных векторных полях, а у вас то о тривиальных то о произвольных. Во-вторых, примеры ваши какие-то неинтересные. Поскольку вы привели примеры в размерности 4, то и я приведу свои интересные примеры в размерности 4. Далее я буду использовать овеществление комплексных матриц Паули $\sigma$ и произведений их на мнимую единицу $\mathrm{i}\sigma$ , где вместо нуля подставляется матричный ноль, вместо единицы - матричная единица, а вместо мнимой единицы - матричная мнимая единица. Тогда для формы $\omega_1=\operatorname{diag}[1,1,1,1]x\mathrm{d}x$, где $x, \mathrm{d}x$ - столбец и строка соответственно, мы получим аннулирующие эту форму генераторы

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \upsilon_1&=&\mathrm{i}\sigma_1 x\partial x \\ \upsilon_2&=&\mathrm{i}\sigma_2 x\partial x \\ \upsilon_3&=&\mathrm{i}\sigma_3 x\partial x \\ \end{array} \right.$$

которые порождают алгебру кватернионов и её алгебру Ли. В свою очередь, если мы имеем набор форм

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \omega_1&=&\operatorname{diag}[1,1,1,1]x\mathrm{d}x \\ \omega_2&=&\operatorname{diag}[1,-1,1,-1]x\mathrm{d}x \\ \omega_3&=&\operatorname{diag}[1,-1,-1,1]x\mathrm{d}x \\ \omega_4&=&\operatorname{diag}[1,1,-1,-1]x\mathrm{d}x \\ \end{array} \right.$$

то мы получим аннулирующие одну из этих форм генераторы

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \upsilon_1&=&\mathrm{i}\sigma_1 x\partial x \\ \upsilon_2&=&\mathrm{i}\sigma_2 x\partial x \\ \upsilon_3&=&\mathrm{i}\sigma_3 x\partial x \\ \upsilon_5&=&\sigma_1 x\partial x \\ \upsilon_6&=&\sigma_2 x\partial x \\ \upsilon_7&=&\sigma_3 x\partial x \\ \end{array} \right.$$

которые порождают матричную алгебру $M_2(\mathbb{C})$ и её алгебру Ли $sl_2(\mathbb{C})$. Можно и продолжить конструирование интересных алгебр Ли. Если взять набор форм

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \omega_2&=&\operatorname{diag}[1,-1,1,-1]x\mathrm{d}x \\ \omega_3&=&\operatorname{diag}[1,-1,-1,1]x\mathrm{d}x \\ \omega_4&=&\operatorname{diag}[1,1,-1,-1]x\mathrm{d}x \\ \end{array} \right.$$

то мы получим аннулирующие одну из этих форм генераторы

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \upsilon_5&=&\sigma_1 x\partial x \\ \upsilon_6&=&\sigma_2 x\partial x \\ \upsilon_7&=&\sigma_3 x\partial x \\ \end{array} \right.$$

которые порождают алгебру Ли $su(2)$.

Предупреждение: мог напутать с диагональными матрицами.