Матричное дискретное логарифмирование

[serval]

Пусть имеются невырожденные матрицы $P$ и $B$ такие, что (скобки ниже служат для наглядности):

$(e_1 P^{x})(B^k e^1)=k^{x}$ - результат скалярного произведения,

где $e_1=(1,0,0,...)$ - вектор-строка, $e^1=e_{1}^{T}$ - вектор-столбец.

Тогда уравнение $k^x=a$ примет вид

$(e_1 P^{x})(B^k e^1)=(e_1 P^{1})(B^a e^1)$ - равенство скалярных произведений

или

$(e_1 P^1)P^{x-1}(B^ke^1)=(e_1P^1)B^{a-k}(B^ke^1)$

где известно всё кроме $x$.

Можно ли из этого извлечь какую-либо информацию об $x$ ?

[serval]

Например, для степени $x=2$ , уравнение $k^x=a$ примет вид скалярного произведения ортогональных векторов:

$(1^x,2^x,3^x) \begin{pmatrix} (k-2)(k-3)-2a \\ -2(k-1)(k-3) \\ (k-1)(k-2) \end{pmatrix}=0$

где $a$ и $k$ известны (таким образом, известен вектор-столбец), а размерность векторов равна $N=x+1$ .

[serval]

Например, пусть $k=5,\ a=25$ , тогда:

$(1^x,2^x,3^x) \begin{pmatrix} -44 \\ -16 \\ 12 \end{pmatrix}=0$

или после вынесения 4:

$(1^x,2^x,3^x) \begin{pmatrix} -11 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}=0$

легко проверить, что равенство выполняется при $x=2$ :

$(1,4,9) \begin{pmatrix} -11 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}=0$

[maxal]

serval в сообщении #1388457 писал(а):

Пусть имеются невырожденные матрицы $P$ и $B$ такие, что (скобки ниже служат для наглядности):

$(e_1 P^{x})(B^k e^1)=k^{x}$ - результат скалярного произведения,

где $e_1=(1,0,0,...)$ - вектор-строка, $e^1=e_{1}^{T}$ - вектор-столбец.

Тогда уравнение $k^x=a$ примет вид

$(e_1 P^{x})(B^k e^1)=(e_1 P^{1})(B^a e^1)$ - равенство скалярных произведений

Переход непонятен. Откуда взялась правая часть в последнем равенстве?
Или вы утверждаете, что исходное равенство является функциональным и выполняется для любого $x$? Но тогда $a$ должно быть функцией от $x$, а не константой.