Условный экстремум аддитивной функции

[eugrita]

Рассматриваются условия максимума функции прибыли
$Pr=\sum{Q_i \cdot P(Q_i)}$ при ограничениях $\sum(Q_i)>K, Q_i>0$ и где функция спроса $P(Q)$ - любая убывающая, неотрицательная и выпуклая вниз функция.
Случай линейной функции спроса $P(Q)=P_0-k \cdot Q$ мало интересен, хотя задача сводится к задаче квадратичного программирования с тривиальными решениями .
рассмотрим для простоты при $n=2$ условный экстремум функции $f(x,y)=xf(x)+yf(y) $
при условиях $ x, y > 0 , x+y >K$ где $f (x)$ - функция спроса т е $f(0)$ -конечно
$f(x)$ -убывает и $f(x) \to 0$ при увеличении x т.е $f(x,y)$ является суммой 2х одномодальных невыпуклых функций и сама не выпукла.
Составим условия Лагранжа для задачи условного экстремума при ограничениях типа неравенств
$g_1(x)=-x < 0, g_2(x)=-y <0, g_3(x)=K-x-y <0$
$L(x,y)=xf(x)+yf(y)+\lambda_1 \cdot g_1+\lambda_2 \cdot g_2 +\lambda_3 \cdot g_3$
$L(x,y)=xf(x)+yf(y)-\lambda_1 \cdot x-\lambda_2 \cdot y +\lambda_3 \cdot (K-x-y) $
$0=\frac{\partial L}{\partial x}=f(x)+xf'(x)-\lambda_1 -\lambda_3$
$0=\frac{\partial L}{\partial y}=f(y)+yf'(y)-\lambda_2 -\lambda_3$
Условия неотрицательности
$\lambda_1 , \lambda_2, \lambda_3 \ge 0 $
УСЛОВИЯ ДОПОЛНЯЮЩЕЙ НЕЖЕСТКОСТИ
$\lambda_1 \cdot g_1=-\lambda_1 \cdot x=0$
$\lambda_2 \cdot g_2=-\lambda_2 \cdot y=0$
$\lambda_3 \cdot g_3=\lambda_3 \cdot (K-x-y)=0$
Хорошо . Что же их всего этого уже сейчас качественно можно сказать об экстремуме? Конкретно интересует вопрос может ли мах достигаться не при равных значениях переменных $x=y$ ?

[Евгений Машеров]

Мы даже не можем сказать, что он существует. Если

eugrita в сообщении #1388363 писал(а):

$P(Q)$ - любая убывающая, неотрицательная и выпуклая вниз функция

- не так сложно найти функцию, для которой оптимальное решение - бесконечность.

[eugrita]

хорошо, усилим требования пусть $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=0$
т.е $f(x) \to 0$ быстрее $\frac{1}{x}$

[Otta]

eugrita в сообщении #1388370 писал(а):

хорошо, усилим требования пусть $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=0$
т.е $f(x) \to 0$ быстрее $\frac{1}{x}$

Первая строчка и вторая - это не одно и то же. Чего Вы требуете на самом деле?

[eugrita]

да ошибся имел ввиду $\lim {x \to \infty} x\cdot f(x)=0$

[SiberianSemion]

(Оффтоп)

eugrita, полезно пользоваться TeX командой limits, например:

да ошибся имел ввиду [math]$\lim\limits_{x \to \infty} x\cdot f(x)=0$

Получится:

eugrita в сообщении #1388378 писал(а):

да ошибся имел ввиду $\lim\limits_{x \to \infty} x\cdot f(x)=0$

[Евгений Машеров]

eugrita в сообщении #1388363 писал(а):

Конкретно интересует вопрос может ли мах достигаться не при равных значениях переменных $x=y$ ?

Уж очень условия симметричные. То есть если достигается на паре (x,y), то точно такой же на (y,x). Так что если единственный - то $x=y$, а может ли быть несколько локальных или "площадка", на которой достигается экскремумэкстремум в любой точке - не вем.

[eugrita]

Эта постановка возникла из конкретной экономической задачи. Есть универмаг, например Метро Cash and Carry Есть партия товаров, объемом К например, фрукты, которые надо продать за срок например не более 2 дней. Известна функция спроса $P(Q)$. Какие цены (скидки)надо выставить в 1й и 2й день продажи для получения максимума прибыли?
Интересна разновидность постановки кол-во покупателей известно (известно количество карт покупателя), известно так же по данным учета продаж доля покупателей которые покупали товар данного вида. Задача ставится как задача управления скидками какую скидку сделать той доле покупателей которая покупала этот товар

[Евгений Машеров]

Так это у Вас иная задача, не та, что в начале. Фрукты первого, второго и третьего дня торговли это разный товар, и для них разная зависимость спроса от цены (скажем, если продать надо всё за 2 дня, потом только выкидывать - в начале торговли твёрдые, во второй размягчились, в третий чёрными пятнами пошли; соответственно, по той цене, по какой расхватают первоначальные фрукты, в последний день даже не посмотрят).
И выглядеть она будет так:
$\max!_{q_i} q_0p_0(q_0)+q_1p_1(q_1)+q_2p_2(q_2)$
$p_0(q_0)+p_1(q_1)+p_2(q_2) \le K$
где $p_i(q_i)$ это объём продаж i-той категории, если цена установлена равной $q_i$, K - общая масса товара.

[eugrita]

нет я рассматриваю только товар одного вида который надо продать не позже чем за несколько дней иначе он испортится. Никакой сортировки товара в процессе продажи не происходит - нет работников для этого

[Евгений Машеров]

Я именно об этом. Не сортировка. Тогда была бы постановка иная.
А выставили по цене $z_0$, на следующий день - "не берут? уже мягкие?" и скидка до $z_1$, а на третий - "уже чернеют, срочно продавать, что осталось!" и цена $z_2$, $z_0>z_1>z_2$

[Евгений Машеров]

Да, и решать в такой постановке естественней всего динамическим программированием.