2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рациональная сумма над конечным полем
Сообщение16.04.2019, 12:54 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Пусть $p$ и $q>2$ --- различные простые числа, $p \not\equiv 1 \pmod{q}$. Вычислите
$$
\sum_{a \in \mathbb{F}_p}\frac{1}{1+a+\ldots+a^{q-1}},
$$
где $\mathbb{F}_p$ --- поле из $p$ элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная сумма над конечным полем
Сообщение17.04.2019, 08:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Пусть $qs=1\mod p-1$.
Тогда $$\sum_a \frac{1-a}{1-a^q}=\frac{1}{q}+\sum_{a^q=b\neq 1}\frac{1-b^s}{1-b}=\frac{1}{q}-s=-2s.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная сумма над конечным полем
Сообщение17.04.2019, 09:08 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Руст в сообщении #1388198 писал(а):
$$\sum_a \frac{1-a}{1-a^q}=\frac{1}{q}+\sum_{a^q=b\neq 1}\frac{1-b^s}{1-b}=\frac{1}{q}-s=-2s.$$
Последнее равенство, конечно, неверно, но в целом все ОК. (А я вчера, сочиняя эту задачу "из общих соображений", не заметил более простого способа. Так что спасибо :-))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group