Про положительный корень

[Charlz_Klug]

Прошу проверить доказательство.

Задача:
Докажите, что если в уравнении $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ свободный член $c$ отрицателен, то это уравнение имеет хотя бы один положительный корень

Доказательство:
Возьмём функцию $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Для ясности введём $c = -d$, где $d$ — число большее нуля. Тогда функцию $f(x)$ можно записать так: $f(x) = x^3 + ax^2 + bx -d$. Рассмотрим, что будет при $f(0)$. Значение функции $f(0) = 0^3 + a \cdot 0^2 + b \cdot 0 - d = -d$.
Теперь перепишем функцию $f(x)$ таким образом: $f(x) = x^3 \left ( 1 + \dfrac {a} {x} + \dfrac {b} {x^2} + \dfrac {c} {x^3} \right )$. Теперь рассмотрим, что будет если устремить $x$ к плюс бесконечности. Произойдёт следующее: выражение $1 + \dfrac {a} {x} + \dfrac {b} {x^2} + \dfrac {c} {x^3}$ устремляется к единице, а $x^3$ стремится к плюс бесконечности. Таким образом функция $f(x)$ на промежутке $x \in [0,+ \infty)$ отображается в промежуток $[-d, + \infty)$. Ко всему прочему, функция $f(x)$ — непрерывная и гладкая всюду, а значит неизбежно пересечёт прямую $x = 0$ в некоторой точке $x' > 0$. Отсюда заключаем, что утверждение верно.

[nnosipov]

Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):

Таким образом функция $f(x)$ на промежутке $x \in [0,+ \infty)$ отображается в промежуток $[-d, + \infty)$.

Ну, это утверждение неверно (но оно и не нужно). А так, в целом верное рассуждение.

-- Вт апр 16, 2019 19:23:21 --

Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):

неизбежно пересечёт

Я бы еще пояснил, откуда эта неизбежность (на основе какой теоремы).

[Charlz_Klug]

nnosipov в сообщении #1388060 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):

Таким образом функция $f(x)$ на промежутке $x \in [0,+ \infty)$ отображается в промежуток $[-d, + \infty)$.

Ну, это утверждение не верно (но оно и не нужно).

Да, что-то я погорячился. Понял.

nnosipov в сообщении #1388060 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):

неизбежно пересечёт

Я бы еще пояснил, откуда эта неизбежность (на основе какой теоремы).

По теореме Больцано — Коши. Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, $f(a) = A$ и $f(b) = B$, то для любого числа $C$, заключённого между $A$ и $B$, существует такая точка $\xi \in [a, b]$, что $f(\xi) = C$. И следствие: если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль.

[nnosipov]

Да, все верно.

[Charlz_Klug]

nnosipov, спасибо!

[Brukvalub]

Спорное утверждение:

Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):

неизбежно пересечёт прямую $x = 0$ в некоторой точке $x' > 0$

[Pphantom]

Только это какая-то стрельба из пушки по воробьям. Куда проще воспользоваться теоремой Виета (или просто доказать ее часть, касающуюся выражения свободного члена через корни).

[Brukvalub]

Pphantom в сообщении #1388101 писал(а):

Куда проще воспользоваться теоремой Виета (или просто доказать ее часть, касающуюся выражения свободного члена через корни).

Особенно эффектно это прокатит, если 2 корня - комплексные.

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1388101 писал(а):

Только это какая-то стрельба из пушки по воробьям.

Почему из пушки? Очень естественная вещь, делающая утверждение очевидным. Формулы Виета тоже неплохо, но их плохо помнят.

[Pphantom]

Brukvalub в сообщении #1388104 писал(а):

Особенно эффектно это прокатит, если 2 корня - комплексные.

А все равно. Они сопряженные (ну, надеюсь, мы сейчас не выясним, что коэффициенты многочлена были комплексными) и их произведение тем самым заведомо вещественно и положительно.

-- 16.04.2019, 18:47 --

nnosipov в сообщении #1388106 писал(а):

Очень естественная вещь, делающая утверждение очевидным.

Пожалуй.

nnosipov в сообщении #1388106 писал(а):

Формулы Виета тоже неплохо, но их плохо помнят.

Ну... именно для свободного члена результат очень легко и запомнить, и получить.

[nnosipov]

Brukvalub в сообщении #1388104 писал(а):

если 2 корня - комплексные

А что не так? Их произведение ведь положительно, а третий корень вещественный (и будет положительным).

-- Вт апр 16, 2019 22:53:52 --

Pphantom в сообщении #1388108 писал(а):

очень легко и запомнить, и получить

Оно, конечно, так, но ... вот у моих студентов на них почему-то аллергия.

[Charlz_Klug]

Brukvalub в сообщении #1388100 писал(а):

Спорное утверждение:

Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):

неизбежно пересечёт прямую $x = 0$ в некоторой точке $x' > 0$

Прошу раскрыть тему. Что не так с утверждением?

[nnosipov]

Charlz_Klug
У Вас прямая не та (опечатались).

[Charlz_Klug]

nnosipov в сообщении #1388110 писал(а):

Pphantom в сообщении #1388108 писал(а):

очень легко и запомнить, и получить

Оно, конечно, так, но ... вот у моих студентов на них почему-то аллергия.

Я тоже не знал. Теперь узнал, спасибо!

-- 16.04.2019, 19:59 --

nnosipov в сообщении #1388115 писал(а):

Charlz_Klug
У Вас прямая не та (опечатались).

Точно. Виноват. $y=0$.

[Brukvalub]

nnosipov в сообщении #1388110 писал(а):

А что не так? Их произведение ведь положительно, а третий корень вещественный (и будет положительным).

Для этого нужно знать, что комплексные корни вещественного многочлена разбиваются на пары комплексно-сопряженных, что лишне в задаче на применение теорем анализа.