Односвязное подмножество плоскости

[demolishka]

Пусть $P \subset \mathbb{R}^{2}$ - линейно связное замкнутое подмножество с тривиальной фундаментальной группой. Верно ли, что с любой простой замкнутой кривой, лежащей в $P$, множество $P$ содержит и внутреннюю относительно этой кривой часть плоскости?

Пытаюсь доказать от противного: пусть $\gamma \colon [0,1] \to P$ некоторая простая петля с началом, скажем в $p \in P$, и $q$ лежит во внутренней части, но не принадлежит $P$. Рассмотрим гомотопию $H \colon [0,1] \times [0,1] \to P$ (т. е. $H(0,t)=\gamma(t)$, $H(1,t)=p$, $H(s,0)=H(s,1)=p$) пути $\gamma$ и тождественного пути. Пусть $\gamma_{s}(t):=H(s,t)$ промежуточные пути и $\Gamma_{s}=\gamma_{s}([0,1])$ их носители. Дальше хочется сыграть на непрерывности, например так. Дополнение $\mathbb{R}^{2} \setminus \Gamma_{s}$ разбивается на непересекающиеся открытые линейно связные подмножества плоскости. Ограниченные части этого разбиения будем называть внутренностью кривой $\Gamma_{s}$, а неограниченную часть - внешностью. Рассмотрим расстояние $d(s)$ от точки $q$ до $\Gamma_{s}$, причем со знаком плюс, если точка $q$ принадлежит внутренности, и минус, если $q$ принадлежит внешности. Тогда $d(0)>0$ и $d(1)<0$. Если бы мы показали, что $d$ непрерывно, то дело сделано. Но $d$, вообще говоря, не непрерывно : внутренние точки могут перейти во внешние при малом изменении $s$.

[g______d]

Пусть $q$ -- внутренняя точка кривой. Тогда кривая представляет нетривиальный элемент $\pi_1(\mathbb R^2\setminus \{q\},p)$. Если мы в это верим, то больше ничего не нужно (в том числе и множества $X$).

[demolishka]

g______d в сообщении #1387967 писал(а):

Пусть $q$ -- внутренняя точка кривой. Тогда кривая представляет нетривиальный элемент $\pi_1(\mathbb R^2\setminus \{q\},p)$. Если мы в это верим, то больше ничего не нужно (в том числе и множества $X$).

А нетривиальный наверное потому, что у этой простой кривой индекс (вокруг $q$) равен 1?

[g______d]

demolishka в сообщении #1387972 писал(а):

А нетривиальный наверное потому, что у этой простой кривой индекс (вокруг $q$) равен 1?

Или $-1$.

Но решение зависит от того, чем можно пользоваться. Понятно, что индекс определён для любой точки (не лежащей на кривой) и постоянен на компонентах связности дополнения к кривой. Понятно также, что на неограниченной компоненте связности индекс равен нулю. Очевидно ли, что на оставшейся компоненте индекс нетривиален? Я подозреваю, что это часть доказательства теоремы Жордана, но не вижу, как это можно вывести прямо из теоремы, используя её как "чёрный ящик".

[demolishka]

g______d в сообщении #1387975 писал(а):

Но решение зависит от того, чем можно пользоваться.

Я хотел просто понять откуда ноги у данного факта растут. По рабоче-крестьянски не получилось, ну что ж. Зато понял, что индекс и есть то соображение непрерывности, которое здесь нужно. А раз корни восходят к теореме Жордана, то и бог с ней . Я все равно теорией индекса на формальном уровне практически не владею. Спасибо Вам за помощь.