Задача по теории веротностей [Многомерные распределения]

[_art_]

Здравствуйте! Возникли вопросы при решение задачи по теории вероятностей. А именно :
Формулировка задачи :
Пусть $t_{0} = 0 < t_{1} < t_ {2} < ... < t_{n}$ и $\xi_{i} $ , где $1 \leqslant i \leqslant n$ - независимые случайные величины распределенные нормально со средними значениями равными $0$ и дисперсиями $(\sigma_{i})^2 = t_{i} - t_{i-1}$.
Определим случайный вектор$\overrightarrow\mu = (\mu_{1}, \mu_{2}, ..., \mu_{n})$ , где $\mu_{i} = \xi_{1} + \xi_{2} + ... + \xi_{i}$. Найти ковариационную матрицу вектора $\overrightarrow\mu$ и написать выражения для плотности распределения $\overrightarrow\mu$

Решение:
Найдем дисперсии вида $D\mu_{k}$ = $D(\xi_{1} + \xi_{2} + ... + \xi_{k}) = D\xi_{1} + D\xi_{2} + ... + D\xi_{k}$ = $\sum_{j = 1}^{k}t_{j} - t_{j-1} = t_{k} - t_{0} = t_{k}$ $\Rightarrow$ диалгональ ковариационной матрицы мы знаем, осталось найти ковариации вида $cov(\mu_{i}, \mu_{j})$. Вот тут возникла трудность.
$cov(\mu_{i}, \mu_{j}) = M(\mu_{i}* \mu_{j}) - M(\mu_{i}) * M(\mu_{j}) = M(\mu_{i}* \mu_{j}) $

Плотность: если мы знаем ковариационную матрицу то сможем найти и плотность, ибо поскольку координаты вектора $\overrightarrow\mu$ так же распределны равномерно в силу независимости $\xi_{1} , ... , \xi_{n}$.
$f_{\overrightarrow\mu}(\overrightarrow t) =\frac{\sqrt{det(A)}}{(\sqrt{2\pi})^n}*e^{-1/2 (\overrightarrow t) * A * {t}^\downarrow}$ где A - ковариационная матрица.

[mihaild]

Подставьте в $M(\mu_i \cdot \mu_j)$ выражения через $\xi$, раскройте скобки, разбейте слагаемые по разным мат. ожиданиям - сразу станет сильно проще.

_art_ в сообщении #1387303 писал(а):

координаты вектора $\overrightarrow\mu$ так же распределны равномерно

Равномерное-то распределение откуда?
Ну и нормальность распределения компонент сама по себе еще не гарантирует нормальности распределения всего вектора.

[_art_]

Да, вы правы, нормальность вектора следует из того что координаты распределены нормально НО еще и при доп условии : они должны быть независимы.

-- 12.04.2019, 21:32 --

У меня получилось так :
$cov(\xi_{1}, \xi_{2}) = M(\mu_{1} * \mu_{2}) = M(\xi_{1}^2) + M(\xi_{1} * \xi_{2}) + .... +M(\xi_{i} *\xi_{j}) = M(\xi_{1} ^ 2) + ... + M(\xi_{n} ^ 2)$

В силу независимости $\xi_{i}$
для вычисления мат ожиданий в квадрате вычислим интеграл вида :

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-1 x^{2}}{2 t}} x\, dx$$

и он где t - это дисперсия и он равен 0 стало быть ковариация равна 0 , но кажется я снова где то ошибаюсь

[mihaild]

_art_ в сообщении #1387346 писал(а):

для вычисления мат ожиданий в квадрате вычислим интеграл вида :

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-1 x^{2}}{2 t}} x\, dx$$

Почему именно этот интеграл (он неправильный, должен быть другой)? Чему вообще равно мат. ожидание квадрата распределения с нулевым средним (оно очень просто выражается через хорошо известную характеристику)?

_art_ в сообщении #1387346 писал(а):

НО еще и при доп условии : они должны быть независимы

Ну так независимости и нет. Используйте какой-нибудь другой критерий нормального распределения.

[_art_]

mihaild в сообщении #1387353 писал(а):

Почему именно этот интеграл

Да, допустил ошибку, собственно вот так вычисляется мат ожидание, где $ f_{\xi_{1} (x)$ известна

$M(\xi_{1}^2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2 * f_{\xi_{1} (x) dx}$

-- 12.04.2019, 22:01 --

mihaild в сообщении #1387353 писал(а):

Используйте какой-нибудь другой критерий нормального распределения.

Насколько мне известно их 2. Через плотность и характеристическую функцию. Хорошо, попробую через хф, спасибо за совет

[Otta]

Если Вам в принципе известен аппарат х.ф. в многомерном случае, то без вариантов, лучше с его помощью. Тем более, для нормального распределения. Тем более, здесь.

[--mS--]

Вектор $\vec\mu$ есть линейное преобразование вектора $\vec\xi$:

$$ \vec\mu=A\vec\xi, $$

где $A$ - нижнетреугольная матрица из единиц. Определитель единица, обратная выписывается сразу же. Плотность выражается как

$$ f_{\vec\mu}(\vec x) = \frac{1}{|\det A|}f_{\vec\xi}(A^{-1}\vec x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{t_1(t_2-t_1)\ldots(t_n-t_{n-1})}} e^{-\frac12\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-x_{i-1})^2}{t_i-t_{i-1}}}, $$

где $t_0=x_0=0$.

Но всё это ни к чему, если дано прямое указание сначала вычислить ковариационную матрицу, а затем с её помощью плотность. Так посчиталась ковариация $\mu_i$ и $\mu_j$?