В евклидовой метрике поворот сохраняет расстоян., а в L1-нет

[Henrylee]

Профессор Снэйп писал(а):

Алексей К. писал(а):

...кроме как многабукав не встречал...

Да, слитное написание, пожалуй, правильнее. А вот на конце должна быть точно буква "ф", а не "в". Удвоенная или нет --- тоже вопрос.

Да, нелегок албанский..

[ewert]

Henrylee писал(а):

"Ниасилил, слишком многа букф". Будьте проще, вот это

bubu gaga писал(а):

$\| f(x) - (2 - x) \| = 0 $

сразу следует из этого

$$ (1-x,f(x)+x-2)=(2-x-f(x),f(x)-1)=0 $$

Вобщем, кроме арифметики и линейности скалярного произведения ничего и не нужно.
И заметьте, это все выводится из Ваших же первых двух равенств (с нормами). Поэтому ни о каких направлениях векторов речи уже нет. только голые равенства. ну а можно было и сразу приравнять $1-x=f(x)-1$ как вектора и не париться с этими нормами и скалярными произведениями. Тут уже заданы и сонаправленность, и равенство норм.

Ну я бы предложил бы всё же быть, с одной стороны, ещё проще -- а с другой, занудливее, но сознательнее.

С одной стороны. Понятие однонаправленности не требует само по себе никаких углов (и, соотв., никаких скалярных произведений). Оно вполне естественным образом интерпретируется геометрически как пропорциональность, в данном случае: $f(x)-1=\alpha\cdot(1-x) $. Ну теперь из однородности нормы моментально следует $|\alpha|=1$, т.е. $\alpha=\pm1$; один знак отвечает исходной точке, другой -- противоположной, и других вариантов нет.

А с другой. Допустим, что мы всё же определяем однонаправленность как равенство угла нулю или пи, т.е. равенство косинуса этого угла плюс-минус единице. Тогда ситуация сложнее. Тогда всё сводится к следующему утверждению: неравенство Коши-Буняковского $|(u,v)|\leqslant\Vert u\Vert\cdot\Vert v\Vert$ превращается в равенство тогда и только тогда, когда сомножители пропорциональны. А это -- вовсе не тривиально. Т.е. банальным образом из аксиом это не следует. (И, в частности, Ваше замечательное

$$(1-x,f(x)-1)=(1-x,1-x)=(f(x)-1,f(x)-1)$$

-- заранее тоже не очевидно.)

Ну т.е. конечно, этот факт выявляется моментально при попытке доказательства самого неравенства, стоит только обратить на него внимание. Но вот как раз при изложении гильбертовой/евклидовой теории на этот нюанс довольно часто внимания и не обращают.