Вычислить интеграл методами ТФКП

[lovgager]

Добрый день.

Задача: вычислить интеграл

$$\int\limits_{0}^{\infty}\cos(x^2) dx$$

методами ТФКП.

Мне подсказали, что следует рассмотреть функцию $\exp(iz^2)$ и замкнутый контур вида


Интеграл по этому контуру равен нулю, разбиваем его на три, в пределе при $R\to+\infty$ одно из слагаемых - искомое (от него потом возьмём вещественную часть), а два других - по дуге окружности $C_R$ и по отрезку $L_R$ - считаются. У меня возникли затруднения с интегралом по дуге:

$$\int\limits_{C_R}^{}e^{iz^2} dz$$

Если заменить $z=R e^{i\varphi}, dz = iR e^{i\varphi} d\varphi$, то получается интеграл

$$\int\limits_{0}^{\pi/4}\exp{(i R^2 e^{2i\varphi})}iR e^{i\varphi} d\varphi$$

.
Не знаю, что с ним делать дальше. Возможно, надо как-то по-другому? Помогите, пожалуйста

[alcoholist]

lovgager в сообщении #1387038 писал(а):

Не знаю, что с ним делать дальше

Модуль интеграла не превосходит интеграла модуля. Основной вклад в интеграл от модуля дает окрестность точки $\varphi=0$.

[thething]

lovgager
После перехода к модулю под знаком интеграла у Вас под интегралом должна остаться функция $e^{-R^2\sin 2\varphi}$ и останется оценить синус снизу какой-нибудь линейной функцией.