Нахождение энергии из дифура

[S.Grisha]

Есть задача Коши $-\psi''(x) +(ax-b)^2 \psi (x)=E \psi (x),$ $\psi(0)=\psi (L) =0,$ $\int_0^L |\psi(x)|^2 \, dx=1$. Решение, вроде, $\psi(x) = c_1 D_{(E-a)/2a} (\sqrt{2/a}(ax-b)) +c_2 D_{(E-a)/2a} (-\sqrt{2/a}(ax-b)),$ где $D_{\nu}(z)$ – функции параболического цилиндра.

$E$ – это энергии системы, но совершенно не ясно как их найти. Подскажите, где можно подробнее прочитать про эти функции, чтобы хотя бы попытаться использовать граничные условия, и можно ли так найти энергии? В физическом смысле существенно важны два случая: $b<< a^{1/2}$ и $b >> a^{1/2}$.

[S.Grisha]

$\psi(0)=c_1D_{(E-a)/2a}(-\sqrt{2/a}b)+c_2D_{(E-a)/2a}(\sqrt{2/a}b)=0$
На сколько я понял, $D_{2\nu}(x)=D_{2\nu}(-x)$ и $D_{2\nu+1}(x)=-D_{2\nu+1}(-x)$.
Пусть $b<<a^{1/2} \Rightarrow \sqrt{2/a}b << \sqrt{2}$
$\xi<<1: \,\,D_{(E-a)/2a}(\sqrt{2}\xi)\approx \dfrac{\sqrt{\pi}2^{(E-a)/4a}}{\Gamma ((3a-E)/4a)}-\dfrac{\sqrt{\pi}2^{(E+3a)/4a}}{\Gamma ((a-E)/4a)}\xi$
Если $\xi=0$, то функция "обнуляется", если $(3a-E)/4a=-n\in \mathbb{N}\cup 0, \,\, E=3a+4an=E_n.$
Пусть теперь $E=E_n+\epsilon, \,\, \xi>0$.
$\lim_{z\to -n}(z+n)\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!},$ значит в окрестности $E_n$ имеем $\Gamma ((3a-E)/4a)=-\frac{4a(-1)^n}{\epsilon n!}.$
$\Gamma((a-E_n)4a)=\Gamma(-n-1/2)=\Gamma(-n+1/2)/(-n-1/2)$
Итого, $\dfrac{-\epsilon n!\sqrt{\pi}2^{(E-a)/4a}}{4a(-1)^n}-\dfrac{-(n+1/2) \sqrt{\pi}2^{(E+3a)/4a}}{\Gamma(-n+1/2)}\xi=0$
Откуда $\epsilon=\dfrac{4(2n+1)a(-1)^{n}}{n! \Gamma(-n+1/2)}$

-- 11.04.2019, 09:42 --

Такие рассуждения правильные? Но что делать с другим граничным условием и нормировкой?

[Alex-Yu]

S.Grisha в сообщении #1387026 писал(а):

Но что делать с другим граничным условием и нормировкой?

Разбирать Ваши выкладки лениво, но общий подход тут должен быть такой. Вы совершенно верно написали, что общее решение есть линейная комбинация двух функций (именно таких или не таких я разбираться не буду). Теперь берем ДВА граничных условия и получаем из них ДВА уравнения на ДВА коэффициента $c_i$. Это однородная система двух линейных уравнений, которая имеет нетривиальное решение ТОЛЬКО если детерминант равен нулю. Равенство детерминанта нулю есть условие, определяющее допустимые значения энергии. Кроме того, такая система имеет континуум решений, отличающихся между собой общим множителем (нормировкой). Выбрать конкретную пару $c_i$ надо с помощью условия нормировки.

[S.Grisha]

S.Grisha в сообщении #1387048 писал(а):

детерминант равен нулю

$D_{\frac{E-a}{2a}}(-\sqrt{2/a}b) D_{\frac{E-a}{2a}}(-\sqrt{2/a}(aL-b))=D_{\frac{E-a}{2a}}(\sqrt{2/a}(aL-b)) D_{\frac{E-a}{2a}}(\sqrt{2/a}b)$
Это всегда правда. Отсюда разве что-то можно вытащить?

S.Grisha в сообщении #1387026 писал(а):

Пусть теперь $E=E_n+\epsilon, \,\, \xi>0$.

Правильно ли, что я нахожу поправку к энергии таким образом, как выше?

Cмущает граничное условие $\psi(L)=0,$ ведь из него следует, что $D_{\frac{E-a}{2a}}(\sqrt{2/a}(aL-b))=0$, что в случае $b<<a^{1/2}$ равносильно $D_{\frac{E-a}{2a}}(\sqrt{2a}L)=0,$ но это может не выполняться или я что-то не так понимаю?

Нормировать вообще не ясно как, точнее, не понятно как интеграл считать по этим функциям параболического цилиндра.

[alcoholist]

S.Grisha в сообщении #1387016 писал(а):

Есть задача Коши $-\psi''(x) +(ax-b)^2 \psi (x)=E \psi (x),$ $\psi(0)=\psi (L) =0,$ $\int_0^L |\psi(x)|^2 \, dx=1$.

Это все-таки задача не Коши, а Штурма-Лиувилля.

[S.Grisha]

alcoholist, спасибо, действительно, задача Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле.

[alcoholist]

Alex-Yu
вам же описал общую схему действий

S.Grisha в сообщении #1387048 писал(а):

Отсюда разве что-то можно вытащить?

При конкретных значениях параметров данное уравнение имеет вид $f(E)=0$. Общая теория ШЛ говорит о том, что имеется счетное множество корней $f(E_n)=0$.

[Alex-Yu]

S.Grisha в сообщении #1387026 писал(а):

На сколько я понял, $D_{2\nu}(x)=D_{2\nu}(-x)$ и $D_{2\nu+1}(x)=-D_{2\nu+1}(-x)$.

Да? И даже при не целых $\nu$? Не знаю (лень Абрамовица доставать), правильно ли Вы пишите две нужных здесь функции, но из написанного Вами дальше $\nu$, вообще говоря, не целое число.

-- Чт апр 11, 2019 18:41:05 --

S.Grisha в сообщении #1387048 писал(а):

Cмущает граничное условие $\psi(L)=0,$ ведь из него следует, что $D_{\frac{E-a}{2a}}(\sqrt{2/a}(aL-b))=0$

Не следует.

[S.Grisha]

alcoholist в сообщении #1387059 писал(а):

При конкретных значениях параметров данное уравнение имеет вид $f(E)=0$.

Да, но какое данное уравнение? При $b<<a^{1/2}$ оно переписывается следующим образом:

$$D(-\sqrt{2/a}b)D(-\sqrt{2/a}aL)=D(\sqrt{2/a}aL)D(\sqrt{2/a}b)$$

При $b/a=\xi \to 0,$ все асимптотики я беру из wolfram alpha с помощью ParabolicCylinderD[e/[2a]-1/2, sqrt{2}x]

$$\left(\frac{1}{\Gamma((3a-E)/4a)}-\frac{2\xi}{\Gamma((3a-E)/4a)}\right)D(-\sqrt{2/a}aL)=D(\sqrt{2/a}aL)\left(\frac{1}{\Gamma((3a-E)/4a)}+\frac{2\xi}{\Gamma((3a-E)/4a)}\right)$$

Alex-Yu в сообщении #1387069 писал(а):

И даже при не целых $\nu$?

Да, $\nu$ может быть не целым, но похоже всё это время мне wolfram alpha выдавал неправильные решения... Ведь если верить уравнению [1,3] здесь InfoParabolicCylinder, то решения по-другому записываются. Там ошибка?

[Alex-Yu]

S.Grisha в сообщении #1387079 писал(а):

При $b/a=\xi \to 0,$ все асимптотики я беру из wolfram alpha с помощью ParabolicCylinderD[e/[2a]-1/2, sqrt{2}x]

$$\left(\frac{1}{\Gamma((3a-E)/4a)}-\frac{2\xi}{\Gamma((3a-E)/4a)}\right)D(-\sqrt{2/a}aL)=D(\sqrt{2/a}aL)\left(\frac{1}{\Gamma((3a-E)/4a)}+\frac{2\xi}{\Gamma((3a-E)/4a)}\right)$$

И куда же тут делись индексы, которые от искомой $E$ как раз и зависят... Если таких примитивных пропусков не делать, то вполне себе уравнение относительно $E$. Если, конечно, все написано правильно (уж проверять самостоятельно, никто за Вас Вашу работу делать не будет).

-- Чт апр 11, 2019 20:43:31 --

S.Grisha в сообщении #1387079 писал(а):

Там ошибка?

Ну уж это самостоятельно разбирайтесь. Только функции параболического цилиндра мне и не хватало помнить на память, других хлопот у меня будто и нету

[S.Grisha]

Ошибки нет, посмотрел в разных источниках. Тогда, доверяя асимптотикам wolfram alpha, получаем

$$\left(\frac{1}{\Gamma\left(\frac{3a-E}{4a}\right)}-\frac{2\xi}{\Gamma\left(\frac{a-E}{4a}\right)}\right)D_{\frac{E-a}{2a}}(-\sqrt{2/a}aL)=D_{\frac{E-a}{2a}}(\sqrt{2/a}aL)\left(\frac{1}{\Gamma \left(\frac{3a-E}{4a}\right)}+\frac{2\xi}{\Gamma\left(\frac{a-E}{4a}\right)}\right)$$

Далее, не предполагая, что $\frac{E-a}{2a}$ натуральные, сложно что-то записать... Уравнение имеет вид $(1-D)f=(1+D)f_\xi.$ Если $D\ne \pm 1$ то можно ли это решить?

Если же $D=-1,$ то $\dfrac{1}{\Gamma\left(\frac{3a-E}{4a}\right)}=0,$ откуда $E=4an+3a$ и $\nu=\frac{E-a}{2a}=2n+1,$ а значит действительно $D=-1$.

А если $D=1,$ то $\dfrac{1}{\Gamma\left(\frac{a-E}{4a}\right)}=0,$ откуда $E=4an+a$ и $\nu=\frac{E-a}{2a}=2n,$ а значит действительно $D=1$.

[alcoholist]

S.Grisha в сообщении #1387079 писал(а):

Да, но какое данное уравнение?

Что значит "какое данное"? Вот это самое)) Возьмите тройку конкретных значений $a,b,L$ и выпишите уравнение в явном виде. Просто чтобы посмотреть.

[S.Grisha]

Кроме того, если $D=-1,$ то $\psi(0)=(c_1-c_2) D_{(E-a)/2a}(\sqrt{2/a}b)=0.$

S.Grisha в сообщении #1387026 писал(а):

Пусть $b<<a^{1/2} \Rightarrow \sqrt{2/a}b << \sqrt{2}$
$\xi<<1: \,\,D_{(E-a)/2a}(\sqrt{2}\xi)\approx \dfrac{\sqrt{\pi}2^{(E-a)/4a}}{\Gamma ((3a-E)/4a)}-\dfrac{\sqrt{\pi}2^{(E+3a)/4a}}{\Gamma ((a-E)/4a)}\xi$

Условие $D=-1$ с этим хорошо согласуется.

Но есть условие $\psi(L)=(c_1-c_2) D_{(E-a)/2a}(\sqrt{2/a}(aL-b))=0,$ откуда $c_1=c_2$, ведь $D_{(E-a)/2a}(\sqrt{2/a}(aL-b))$ не ноль.

Я в замешательстве...

-- 11.04.2019, 19:33 --

alcoholist в сообщении #1387132 писал(а):

Что значит "какое данное"?

Я имел в виду неопределённость со значением $D=\dfrac{D_\nu(z)}{D_\nu(-z)}$. В случае, если $D\ne \pm 1,$ не видно решений.

[Alex-Yu]

S.Grisha в сообщении #1387123 писал(а):

Уравнение имеет вид $(1-D)f=(1+D)f_\xi.$ Если $D\ne \pm 1$ то можно ли это решить?

Конечно можно. Численными методами. Быть может, какой-то предельный случай можно как-нибудь приближенно победить. Но это надо изобретать, возиться, без гарантии на успех. Гипотеза "с потолка" $D=1$ вряд ли хоть в какой-то мере адекватна. Как и натуральное значение индекса.


Хотя, если бы мне реально понадобилось решить такую задачу (довольно странную, даже представить не могу, в какой ситуации она может реально возникнуть), то я бы не грузился такими трансцендентными уравнениями а сделал бы все очень просто, как в квантовой химии делают. Разлагаем решение по базису, удовлетворяющему граничным условиям. Набор синусов вполне подойдет. Число функций базиса обрезаем, делаем большим, но конечным. Тогда вся задача сводится к диагонализации конечной эрмитовой матрицы. В компьютер и все дела.

-- Пт апр 12, 2019 00:46:46 --

S.Grisha в сообщении #1387123 писал(а):

Уравнение имеет вид $(1-D)f=(1+D)f_\xi.$

Не имеет оно такого вида! Ибо $\nu$ не натуральное.

[mihiv]

Если в уравнении сделать замену $\eta =ax-b$, то получим уравнение Шредингера для гармонического осциллятора c энергией $\dfrac {E}{a^2}$(потенциальная энергия как у осциллятора, но с вертикальными стенками на некотором расстоянии от точки минимума), поэтому при определенных условиях на параметры $a, b$ низшие уровни близки к уровням гармонического осциллятора.