Брахистохрона под Землёй

[wrest]

Скажите пож-ста, есть ли где-то решение задачи о кривой наименьшего времени скатывания для случая старта и финиша на поверхности массивного шара (т.е. какой формы выкопать туннель в Земле)?

Или это в математике надо спросить?

[Geen]

А Вы думаете, что оно будет разным?

[Pphantom]

Для однородной Земли оно более-менее тривиально и общеизвестно, причем ответ уже фактически изложил Geen.

[wrest]

Geen в сообщении #1386340 писал(а):

А Вы думаете, что оно будет разным?

Поле же неоднородное...

-- 06.04.2019, 23:25 --

Pphantom в сообщении #1386342 писал(а):

Для однородной Земли оно более-менее тривиально и общеизвестно,

Ну раз общеизвестно, подскажите где посмотреть?

Еще хотел второй вопрос задать -- то же но над поверхностью (т.е. не в линейно, а квадратично уменьшающемся центрально-стмметричном поле).

[Pphantom]

wrest в сообщении #1386346 писал(а):

Ну раз общеизвестно, подскажите где посмотреть?

Кхм... если честно, то единственный сходу вспоминаемый источник - "Занимательная физика" Перельмана. Оно, впрочем, характеристика - это действительно совершенно тривиально, вы это быстрее сами получите, чем будете искать в литературе.

wrest в сообщении #1386346 писал(а):

Еще хотел второй вопрос задать -- то же но над поверхностью (т.е. не в линейно, а квадратично уменьшающемся центрально-стмметричном поле).

Тут надо более аккуратно поставить задачу.

[wrest]

Pphantom в сообщении #1386352 писал(а):

Тут надо более аккуратно поставить задачу.

Точечная масса в начале координат $O$. Две точки $A$ и $B$ на расстоянии $r$ от начала координат. $\angle AOB=\varphi$, Пробная масса (много меньшая той что в $O$) удерживается в $A$, затем её отпускают и она скатывается под действием центральной силы, без трения, по искомой кривой из $A$ в $B$. Не знаю, может в искомой кривой может быть один или больше проколов сквозь которые пробная масса могла бы провалиться, но для начала пусть их нет...

[Geen]

На всякий случай спрошу - а что делать с сингулярностью в центре?

[wrest]

Geen в сообщении #1386366 писал(а):

На всякий случай спрошу - а что делать с сингулярностью в центре?

Не знаю, а кривая должна через него пройти? Наверное не при всяких $r$ и $\varphi$

[Pphantom]

Готовое решение сходу не вспомнить, так что нужно просто решать. По идее, в сравнительно простом варианте, когда кривая и гравитирующий центр лежат в одной плоскости, это не должно быть сильно страшно.

[Red_Herring]

Pphantom в сообщении #1386448 писал(а):

По идее, в сравнительно простом варианте, когда кривая и гравитирующий центр лежат в одной плоскости, это не должно быть сильно страшно.

И считая, что земля не вращается, это несложно (Лагранжиан в полярной системе координат будет

$$\frac{\sqrt{r^2+r'^2}}{\sqrt{r_0^2-r^2}},$$

что ведет к ОДУ

$$\frac{r^2}{\sqrt{r^2+r'^2}\sqrt{r_0^2-r^2}}=C,$$

и т.д.