2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Универсальная накрывающая группы SL(2,C)
Сообщение17.03.2006, 17:11 
Какова универсальная накрывающая для группы $SL(2,\mathbb{C})$?
есть ли какой-нибудь рецепт её вычисления

 
 
 
 Re: Универсальная накрывающая группы SL(2,C)
Сообщение17.03.2006, 20:15 
Аватара пользователя
x0rr писал(а):
Какова универсальная накрывающая для группы $SL(2,\mathbb{C})$?
есть ли какой-нибудь рецепт её вычисления

Непонятно. Группа $SL(2,\mathbb{C})$ уже является односвязанаой, поэтому непонятно что Вы понимаете под универсальным накрытием. В свою очередь группа $SL(2,\mathbb{C})$ сама является универсальной накрывающей для собственной ортохронной группы $\mathscr{P}^{\uparrow}_{+}$

 
 
 
 Re: Универсальная накрывающая группы SL(2,C)
Сообщение17.03.2006, 21:09 
Аватара пользователя
Аурелиано Буэндиа писал(а):
x0rr писал(а):
Какова универсальная накрывающая для группы $SL(2,\mathbb{C})$?
есть ли какой-нибудь рецепт её вычисления

Непонятно. Группа $SL(2,\mathbb{C})$ уже является односвязанаой, поэтому непонятно что Вы понимаете под универсальным накрытием.


Ну, это означает, что она сама и является своей собственной универсальной накрывающей.

 
 
 
 fgf
Сообщение18.03.2006, 16:40 
спасибо, я понял основную мысль
о накрытии имеет смысл говорить только в случае неодносвязных многообразий типа тора
кстати, тогда еще вопрос, является ли неориентируемость тоже фактом, когда стоит говорить о накрытии?

 
 
 
 папр
Сообщение18.03.2006, 16:42 
Аурелиано Буэндиа
Цитата:
сама является универсальной накрывающей для собственной ортохронной группы

уж не группы ли Лоренца? ))

 
 
 
 Re: fgf
Сообщение18.03.2006, 17:19 
Аватара пользователя
x0rr писал(а):
спасибо, я понял основную мысль
о накрытии имеет смысл говорить только в случае неодносвязных многообразий типа тора
кстати, тогда еще вопрос, является ли неориентируемость тоже фактом, когда стоит говорить о накрытии?


Формально о накрытии можно говорить всегда. Только в односвязном случае накрытие будет тривиальным.

 
 
 
 Re: папр
Сообщение19.03.2006, 23:29 
Аватара пользователя
x0rr писал(а):
уж не группы ли Лоренца? ))

Да, только не всей, а одной связной компоненты.

 
 
 
 ии
Сообщение20.03.2006, 01:50 
в смысле, если 1-параметрическая подгруппа?

 
 
 
 
Сообщение20.03.2006, 13:14 
Аватара пользователя
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Да, только не всей, а одной связной компоненты.


x0rr писал(а):
в смысле, если 1-параметрическая подгруппа?


Связная компонента - наибольшее (по включению) связное подмножество. К количеству параметров (образующих) это отношения не имеет.

 
 
 
 пп
Сообщение20.03.2006, 17:20 
Someone
понятно, спасибо

Аурэлиано
а сколько связных компонент у группы Лоренца?

 
 
 
 Re: ии
Сообщение20.03.2006, 19:59 
Аватара пользователя
x0rr писал(а):
в смысле, если 1-параметрическая подгруппа?

Как абсолютно правильно сказал Someone число параметров может быть разным. Попробую Вам объяснить. Группу Лоренца $O(1,3)$ (как многообразие) можно разбить на 2-е части собственную $\mathscr{P}_{+}=SO(1,3)$ и несобственную, для которой $\hbox{det}(g)=-1$ обозначим её как $\mathscr{P}_{-}$. В итоге имеем $O(1,3)=\mathscr{P}_{+}\bigcup\mathscr{P}_{-}$ Замечу, что $\mathscr{P}_{-}$ не образует группы поскольку не включает единицу. Идем дальше. Компонента $\mathscr{P}_{+}$ не является связной. Продемонстрирую на более простом примере $SO(1,1)$ имеем два типа преобразований
$$
\left(
\begin{array}{cc}
\pm \hbox{ch}\alpha & \hbox{sh}\alpha \\
\hbox{sh}\alpha & \pm \hbox{ch}\alpha \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x^0 \\
x^1 \\
\end{array}
\right), \ \ \ \alpha\in R^1.
$$
Эти преобразования удовлетворяют $\hbox{det} (g)=1$ и образуют 2-а непересекающихся множества. Первое (знак +) преобразование называется ортохронным (в силу того, что не меняет знака величины $x^0$, которое в физике имеет смысл времени), а второе преобразование неортохронным. Поэтому имеем 2-е несвязные компоненты $\mathscr{P}_{+}^{\uparrow}$ и $\mathscr{P}_{+}^{\downarrow}$. Таким образом имеем четыре несвязных компоненты( В случае $SO(1,3)$ добавление $SO(3)$ ничего не меняет, поскольку $SO(3)$ - связная группа).
Так вот группа $SL(2,\mathbb{C})$ накрывыает именно $\mathscr{P}_{+}^{\uparrow}$.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group